【題目】如圖1,正方形紙片ABCD的邊長為2,翻折∠B、∠D,使兩個直角的頂點重合于對角線BD上一點P,EF、GH分別是折痕(如圖2).設AE=x(0<x<2),給出下列判斷:
①當x=1時,點P是正方形ABCD的中心;
②當x= 時,EF+GH>AC;
③當0<x<2時,六邊形AEFCHG面積的最大值是 ;
④當0<x<2時,六邊形AEFCHG周長的值不變.
其中正確的是(寫出所有正確判斷的序號).

【答案】①④
【解析】解:(1)正方形紙片ABCD,翻折∠B、∠D,使兩個直角的頂點重合于對角線BD上一點P,

∴△BEF和△DGH是等腰直角三角形,

∴當AE=1時,重合點P是BD的中點,

∴點P是正方形ABCD的中心;

故①結論正確,(2)正方形紙片ABCD,翻折∠B、∠D,使兩個直角的頂點重合于對角線BD上一點P,

∴△BEF∽△BAC,

∵x= ,

∴BE=2﹣ = ,

= ,即 = ,

∴EF= AC,

同理,GH= AC,

∴EF+GH=AC,

故②結論錯誤,(3)六邊形AEFCHG面積=正方形ABCD的面積﹣△EBF的面積﹣△GDH的面積.

∵AE=x,

∴六邊形AEFCHG面積=22 BEBF﹣ GDHD=4﹣ ×(2﹣x)(2﹣x)﹣ xx=﹣x2+2x+2=﹣(x﹣1)2+3,

∴六邊形AEFCHG面積的最大值是3,

故③結論錯誤,(4)當0<x<2時,

∵EF+GH=AC,

六邊形AEFCHG周長=AE+EF+FC+CH+HG+AG=(AE+CH)+(FC+AG)+(EF+GH)=2+2+2 =4+2

故六邊形AEFCHG周長的值不變,

故④結論正確.

所以答案是:①④.

【考點精析】本題主要考查了正方形的性質和翻折變換(折疊問題)的相關知識點,需要掌握正方形四個角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形;折疊是一種對稱變換,它屬于軸對稱,對稱軸是對應點的連線的垂直平分線,折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對應邊和角相等才能正確解答此題.

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