【題目】如圖,PB為O的切線,B為切點,直線PO交于點E、F,過點B作PO的垂線BA,垂足為點D,交O于點A,延長AO與O交于點C,連接BC,AF.

(1)求證:直線PA為O的切線;

(2)試探究線段EF、OD、OP之間的等量關(guān)系,并加以證明;

(3)若BC=6,tanF=,求cosACB的值和線段PE的長.

【答案】(1)證明見解析(2)EF2=4ODOP,證明見解析(3),

【解析】解:(1)連接OB,

PB是O的切線,∴∠PBO=90°。

OA=OB,BAPO于D,

AD=BD,POA=POB。

PO=PO,∴△PAO≌△PBO(SAS)。

∴∠PAO=PBO=90°。直線PA為O的切線。

(2)EF2=4ODOP。證明如下:

∵∠PAO=PDA=90°,∴∠OAD+AOD=90°,OPA+AOP=90°。

∴∠OAD=OPA。∴△OAD∽△OPA,,即OA2=ODOP。

EF=2OA,EF2=4ODOP。

(3)OA=OC,AD=BD,BC=6,OD=BC=3(三角形中位線定理)。

設(shè)AD=x,

tanF=,FD=2x,OA=OF=2x﹣3。

在RtAOD中,由勾股定理,得(2x﹣3)2=x2+32,

解得,x1=4,x2=0(不合題意,舍去)。AD=4,OA=2x﹣3=5。

AC是O直徑,∴∠ABC=90°。

AC=2OA=10,BC=6,cosACB=。

OA2=ODOP,3(PE+5)=25。PE=。

(1)連接OB,根據(jù)垂徑定理的知識,得出OA=OB,POA=POB,而證明PAO≌△PBO,然后利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合切線的判定定理即可得出結(jié)論。

(2)先證明OAD∽△OPA,相似三角形的性質(zhì)得出OA與OD、OP的關(guān)系,然后將EF=2OA代入關(guān)系式即可。

(3)根據(jù)題意可確定OD是ABC的中位線,設(shè)AD=x,然后利用三角函數(shù)的知識表示出FD、OA,在RtAOD中,勾股定理解出x的值,而能求出cosACB,再由(2)可得OA2=ODOP,代入數(shù)據(jù)即可得出PE的長。 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某大學(xué)生創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊抓住商機,購進(jìn)一批干果分裝成營養(yǎng)搭配合理的小包裝后出售,每袋成本3元.試銷期間發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y(袋)與銷售單價x(元)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系,部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示,其中3.5≤x≤5.5,另外每天還需支付其他費用80元.

(1)請直接寫出yx之間的函數(shù)關(guān)系式;

(2)如果每天獲得160元的利潤,銷售單價為多少元?

(3)設(shè)每天的利潤為w元,當(dāng)銷售單價定為多少元時,每天的利潤最大?最大利潤是多少元?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖,有下列 5 個結(jié)論:①4a+2b+c>0;②abc<0;③b<a+c;④3b>2c;⑤a+b<m(am+b),(m≠1 的實數(shù));其中正確結(jié)論的個數(shù)為( )

A. 2 個 B. 3 個 C. 4 個 D. 5 個

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在三角形ABC中,BC=14,AC=9,AB=13,它的內(nèi)切圓分別和BC、AC、AB切于點D、E、F,那么AF、BD、CE的長分別為(  )

A. AF=4,BD=9,CE=5 B. AF=4,BD=5,CE=9

C. AF=5,BD=4,CE=9 D. AF=9,BD=4,CE=5

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下面是小明設(shè)計的“作平行四邊形ABCD的邊AB的中點”的尺規(guī)作圖過程.

已知:平行四邊形ABCD

求作:點M,使點M 為邊AB 的中點.

作法:如圖,

作射線DA

以點A 為圓心,BC長為半徑畫弧,

DA的延長線于點E;

連接EC AB于點M

所以點M 就是所求作的點.

根據(jù)小明設(shè)計的尺規(guī)作圖過程,

(1)使用直尺和圓規(guī),補全圖形 (保留作圖痕跡);

(2)完成下面的證明.

證明:連接ACEB

四邊形ABCD 是平行四邊形,

AEBC

AE=

四邊形EBCA 是平行四邊形( )(填推理的依據(jù))

AM =MB ( )(填推理的依據(jù))

M 為所求作的邊AB的中點.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,AB=5.如圖,⊙O是△ABC的內(nèi)切圓,與三邊分別相切于點E、F、G.

(1)求證:內(nèi)切圓的半徑r=1;

(2)求tan∠OAG的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,∠A=∠B90°,EAB上的一點,且AEBC,∠1=∠2

求證:△CED是等腰直角三角形

證明:∵∠1=∠2   

EC   (在一個三角形中,等角對等邊)

∵∠A=∠B90°,AEBC

∴△AED≌△BCE   

∴∠AED=∠      

∵∠BCE+BEC90°

   +BEC90°(等量代換)

∴∠DEC90°

∴△CED是等腰直角三角形.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,直線ABx軸交于點C,與y軸交于點B,點A(1,3),點B(0,2).連接AO

(1)求直線AB的解析式;

(2)求三角形AOC的面積.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在矩形ABCD中,AB=12BC=25,P是線段AB上一點(點P不與A,B重合),將PBC沿直線PC折疊,頂點B的對應(yīng)點是點G,CGPG分別交線段ADE,O

1)如圖1,若OP=OE,求證:AE=PB;

2)如圖2,連接BEPC于點F,若BECG

①求證:四邊形BFGP是菱形;

②當(dāng)AE=9,求的值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案