【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線(m<0)與x軸交于點A、B(點A在點B的左側),該拋物線的對稱軸與直線相交于點E,與x軸相交于點D,點P在直線上(不與原點重合),連接PD,過點P作PF⊥PD交y軸于點F,連接DF.
(1)如圖①所示,若拋物線頂點的縱坐標為,求拋物線的解析式;
(2)求A、B兩點的坐標;
(3)如圖②所示,小紅在探究點P的位置發(fā)現(xiàn):當點P與點E重合時,∠PDF的大小為定值,進而猜想:對于直線上任意一點P(不與原點重合),∠PDF的大小為定值.請你判斷該猜想是否正確,并說明理由.
【答案】(1);(2)A(﹣5,0)、B(1,0);(3)∠PDF=60°.
【解析】
試題分析:(1)先提取公式因式將原式變形為,然后令y=0可求得函數(shù)圖象與x軸的交點坐標,從而可求得點A、B的坐標,然后依據(jù)拋物線的對稱性可得到拋物線的對稱軸為x=﹣2,故此可知當x=﹣2時,y=,于是可求得m的值;
(2)由(1)的可知點A、B的坐標;
(3)先由一次函數(shù)的解析式得到∠PBF的度數(shù),然后再由PD⊥PF,F(xiàn)O⊥OD,證明點O、D、P、F共圓,最后依據(jù)圓周角定理可證明∠PDF=60°.
試題解析:(1)∵,∴=m(x+5)(x﹣1).令y=0得:m(x+5)(x﹣1)=0,∵m≠0,∴x=﹣5或x=1,∴A(﹣5,0)、B(1,0),∴拋物線的對稱軸為x=﹣2.∵拋物線的頂點坐標為為,∴﹣9m=,∴m=,∴拋物線的解析式為;
(2)由(1)可知:A(﹣5,0)、B(1,0);
(3)∠PDF=60°.理由如下:
如圖所示,∵OP的解析式為,∴∠AOP=30°,∴∠PBF=60°
∵PD⊥PF,F(xiàn)O⊥OD,∴∠DPF=∠FOD=90°,∴∠DPF+∠FOD=180°,∴點O、D、P、F共圓,∴∠PDF=∠PBF,∴∠PDF=60°.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一個兩位數(shù),十位數(shù)字為x,個位數(shù)字為y,若在兩個數(shù)字中間插入數(shù)字0,則所成的三位數(shù)為_____.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若∠α的補角為60°,∠β的余角為60°,則∠α和∠β的大小關系是
A. ∠α<∠β B. ∠α>∠β C. ∠α=∠β D. 無法確定
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線與x軸交于A(6,0)、B(,0)兩點,與y軸交于點C,過拋物線上點M(1,3)作MN⊥x軸于點N,連接OM.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)如圖1,將△OMN沿x軸向右平移t個單位(0≤t≤5)到△O′M′N′的位置,MN′、M′O′與直線AC分別交于點E、F.
①當點F為M′O′的中點時,求t的值;
②如圖2,若直線M′N′與拋物線相交于點G,過點G作GH∥M′O′交AC于點H,試確定線段EH是否存在最大值?若存在,求出它的最大值及此時t的值;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與直線交于A、B兩點,其中點A在y軸上,點B坐標為(﹣4,﹣5),點P為y軸左側的拋物線上一動點,過點P作PC⊥x軸于點C,交AB于點D.
(1)求拋物線的解析式;
(2)以O,A,P,D為頂點的平行四邊形是否存在?如存在,求點P的坐標;若不存在,說明理由.
(3)當點P運動到直線AB下方某一處時,過點P作PM⊥AB,垂足為M,連接PA使△PAM為等腰直角三角形,請直接寫出此時點P的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y=(x﹣1)2,下列結論正確的是( )
A. 當x>0時,y隨x的增大而減小B. 當x<0時,y隨x的增大而增大
C. 當x<1時,y隨x的增大而減小D. 當x<﹣1時,y隨x的增大而增大
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【題目】對于二次函數(shù) y=(x-1)2+2 的圖象,下列說法正確的是( )
A. 開口向下 B. 頂點坐標是(1,2) C. 對稱軸是 x=-1 D. 有最大值是 2
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