【題目】如圖,拋物線與直線交于A、B兩點,其中點A在y軸上,點B坐標為(﹣4,﹣5),點P為y軸左側(cè)的拋物線上一動點,過點P作PC⊥x軸于點C,交AB于點D

(1)求拋物線的解析式;

(2)以O(shè),A,P,D為頂點的平行四邊形是否存在?如存在,求點P的坐標;若不存在,說明理由

(3)當點P運動到直線AB下方某一處時,過點P作PM⊥AB,垂足為M,連接PA使△PAM為等腰直角三角形,請直接寫出此時點P的坐標

【答案】(1);(2)P(,),(﹣1,),(﹣3,;(3)P(,).

【解析】

試題分析:(1)先確定出點A坐標,然后用待定系數(shù)法求拋物線解析式;

(2)先用m表示出PD,當PD=OA=3,故存在以O(shè),A,P,D為頂點的平行四邊形,得到,分兩種情況進行討論計算即可;

(3)由△PAM為等腰直角三角形,得到∠BAP=45°,從而求出直線AP的解析式,最后求出直線AP和拋物線的交點坐標即可.

試題解析:(1)∵直線交于A、B兩點,其中點A在y軸上,∴A(0,﹣3),∵B(﹣4,﹣5),∴,∴,∴拋物線解析式為

(2)存在,設(shè)P(m,),(m<0),∴D(m,),∴PD=

∵PD∥AO,∴當PD=OA=3,故存在以O(shè),A,P,D為頂點的平行四邊形,∴

①當時,∴==(舍),∴=,∴P(;

②當時,∴=﹣1,=﹣3

Ⅰ、m1=﹣1,∴=,∴P(﹣1,;

Ⅱ、m2=﹣3,∴=,∴P(﹣3,;

∴點P的坐標為(,),(﹣1,),(﹣3,;

(3)如圖,∵△PAM為等腰直角三角形,∴∠BAP=45°,∵直線AP可以看做是直線AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°所得,設(shè)直線AP解析式為y=kx﹣3,∵直線AB解析式為,∴k==3,∴直線AP解析式為y=3x﹣3,聯(lián)立,∴=0(舍),=;

當x=時,y=,∴P(,).

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(1)如圖①所示,若拋物線頂點的縱坐標為,求拋物線的解析式;

(2)求A、B兩點的坐標;

(3)如圖②所示,小紅在探究點P的位置發(fā)現(xiàn):當點P與點E重合時,∠PDF的大小為定值,進而猜想:對于直線上任意一點P(不與原點重合),∠PDF的大小為定值.請你判斷該猜想是否正確,并說明理由

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