Question

【題目】如圖四邊形ABCD中，AD=DC，∠DAB=∠ACB=90°，過點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為F．DF與AB相交于E．設(shè)AB=15，BC=9，P是射線DF上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)△BCP的周長最小時(shí)，DP的長為 ．

Answer 1

【答案】12.5
【解析】解：∵∠ACB=90°，AB=15，BC=9，
∴AC= = =12，
∵AD=DC，DF⊥AC，
∴AF=CF= AC=6，
∴點(diǎn)C關(guān)于DE的對稱點(diǎn)是A，故E點(diǎn)與P點(diǎn)重合時(shí)△BCP的周長最小，
∴DP=DE，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴ ，即 = ，解得AE= ，
∵DE∥BC，
∴∠AED=∠ABC，
∵∠DAB=∠ACB=90°，
∴Rt△AED∽R(shí)t△CBA，
∴ = ，即 = ，解得DE=12.5，即DP=12.5．
故答案為：12.5．
先根據(jù)△ABC是直角三角形可求出AC的長，再根據(jù)AD=DC，DF⊥AC可求出AF=CF= AC，故點(diǎn)C關(guān)于DE的對稱點(diǎn)是A，故E點(diǎn)與P點(diǎn)重合時(shí)△BCP的周長最小，再根據(jù)DE⊥AC，BC⊥AC可知，DE∥BC，由相似三角形的判定定理可知△AEF∽△ABC，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例可得出AE的長，同理，利用△AED∽△CBA即可求出DE的長．