Question

【題目】如圖①，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，射線OC⊥AB于O點(diǎn)，將一直角三角板的60°角的頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，斜邊OE在射線OB上，直角頂點(diǎn)D在直線AB的下方．

（1）將圖①中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖②，使一邊OE在∠BOC的內(nèi)部，且恰好平分∠BOC，問(wèn)：直線OD是否平分∠AOC？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）將圖①中的三角板繞點(diǎn)O按每秒5°的速度沿逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，第t秒時(shí)，直線OD恰好平分∠AOC，則t的值為_(kāi)_______；(直接寫(xiě)出結(jié)果)

（3）將圖①中的三角板繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖③，使OD在∠AOC的內(nèi)部，請(qǐng)?zhí)骄浚骸螦OE與∠DOC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線OD不平分∠AOC，理由見(jiàn)解析；（2）3或39；（3）∠DOC－∠AOE＝30°，理由見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，∠BOE=45°，于是∠BOD=∠DOE-∠BOE=15°，進(jìn)而求出∠COM與∠AOM的值，∠AOM≠∠COM，直線OD不平分∠AOC；

（2）分OD與OD的延長(zhǎng)線平分∠AOC兩種情況；

（3）∠AOE=60°-∠AOD、∠DOC=90°-∠AOD，∠DOC-∠AOE=（90°-∠AOD）-（60°-∠AOD）=30°．

試題解析：（1）直線OD不平分∠AOC，理由：因?yàn)镺E平分∠BOC，所以∠BOE＝45°，∠BOD＝∠DOE－∠BOE＝60°－45°＝15°，延長(zhǎng)DO至M，則∠COM＝180°－90°－15°＝75°，∠AOM＝90°－75°＝15°，即∠AOM≠∠COM；

（2）3或39；

延長(zhǎng)DO，

∵∠AOC=90°，

當(dāng)直線OD恰好平分角∠AOC，

∴∠AOM=∠COM=45°，

即逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°時(shí)DO延長(zhǎng)線平分∠AOC，

由題意得，5t=15°

∴t=3，

當(dāng)DO平分∠AOC，

∴∠DOA=45°

即逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)195°時(shí)DO平分∠AOC，

∴5t=195°，

∴t=39，

∴t=3或39；

（3）∠DOC-∠AOE=30°，

∵∠DOE=60°，∠AOC=90°，

∴∠AOE=60°-∠AOD、∠DOC=90°-∠AOD，

∴∠DOC-∠AOE=（90°-∠AOD）-（60°-∠AOD）=30°，

所以∠AOE與∠DOC之間的數(shù)量關(guān)系為：∠DOC-∠AOE=30°．