Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)．直線y＝ax與拋物線y＝ax2﹣2ax﹣1（a≠0）圍成的封閉區(qū)域（不包含邊界）為W．

（1）求拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含a的式子表示）；

（2）當(dāng)a＝時(shí)，寫出區(qū)域W內(nèi)的所有整點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）若區(qū)域W內(nèi)有3個(gè)整點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（1，﹣a﹣1）；（2）（1，0）、（2，0）、（3，1）、（1，﹣1）；（3）區(qū)域W內(nèi)有3個(gè)整點(diǎn)，a的取值范圍為：a＝或﹣≤a＜﹣1

【解析】

（1）將拋物線化成頂點(diǎn)式表達(dá)式即可求解；

（2）概略畫出直線y＝x和拋物線y＝x2﹣x﹣1的圖象，通過觀察圖象即可求解；

（3）分a＞0、a＜0兩種情況，結(jié)合（2）的結(jié)論，逐次探究即可求解．

解：（1）y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1，

故頂點(diǎn)的坐標(biāo)為：（1，﹣a﹣1）；

（2）a＝時(shí)，概略畫出直線y＝x和拋物線y＝x2﹣x﹣1的圖象如下：

從圖中看，W區(qū)域整點(diǎn)為如圖所示4個(gè)黑點(diǎn)的位置，

其坐標(biāo)為：（1，0）、（2，0）、（3，1）、（1，﹣1）；

（3）①當(dāng)a＞0時(shí)，

由（2）知，當(dāng)a＝時(shí)，區(qū)域W內(nèi)的所有整點(diǎn)數(shù)有4個(gè)；

參考（2）可得：當(dāng)a＞時(shí)，區(qū)域W內(nèi)的所有整點(diǎn)數(shù)多于3個(gè)；

當(dāng)a時(shí)，區(qū)域W內(nèi)的所有整點(diǎn)數(shù)有4個(gè)；

同理當(dāng)a＝時(shí)，區(qū)域W內(nèi)的所有整點(diǎn)數(shù)有3個(gè)；

當(dāng)0＜a＜時(shí)，區(qū)域W內(nèi)的所有整點(diǎn)數(shù)多于3個(gè)；

②當(dāng)a＜0時(shí)，

當(dāng)﹣1≤a＜0時(shí)，區(qū)域W內(nèi)的所有整點(diǎn)數(shù)為0個(gè)；

當(dāng)a＜﹣時(shí)，區(qū)域W內(nèi)的所有整點(diǎn)數(shù)多于3個(gè)；

∴區(qū)域W內(nèi)有3個(gè)整點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍為：﹣≤a＜﹣1，

綜上，區(qū)域W內(nèi)有3個(gè)整點(diǎn)，a的取值范圍為：a＝或﹣≤a＜﹣1．