Question

2．問題探究：已知，如圖①，△AOB中，OB=3，將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△A′OB′，連接BB′，可知BB′=3$\sqrt{2}$．
應(yīng)用：如圖②，已知邊長為2$\sqrt{3}$的正△ABC，以AB為邊向外作一個(gè)正△ABD，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，連接AP，并將AP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AQ，連接DQ，BP，CP．
（1）根據(jù)題意，完成圖形；
（2）求證：∠ABP=∠ADQ；
（3）求PA+PB+PC的最小值．

Answer 1

分析 探究：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得△BOB'是等腰直角三角形，據(jù)此求得BB'的長；
應(yīng)用：（1）根據(jù)題意進(jìn)行畫圖即可；
（2）先判定△DAQ≌△BAP（SAS），即可得出∠ABP=∠ADQ；
（3）連接PQ，當(dāng)C，P，Q，D共線時(shí)，CP+PQ+QD=CD（最短），再求得CD=6，即可得出PA+PB+PC的最小值為6．

解答 解：由旋轉(zhuǎn)可得，OB=OB'=3，∠BOB'=90°，
∴△BOB'是等腰直角三角形，
∴BB'=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
故答案為：3$\sqrt{2}$；

應(yīng)用：（1）如右圖所示：

（2）證明：∵△ABD是等邊三角形，
∴∠BAD=60°，AD=AB，
∵AP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AQ，
∴∠PAQ=60°，AQ=AP，
∴∠BAD=∠PAQ，
∴∠DAQ=∠BAP，
在△DAQ和△BAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AQ=AP}\\{∠DAQ=∠BAP}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△DAQ≌△BAP（SAS），
∴∠ABP=∠ADQ；

（3）如圖②，連接PQ，
∵∠PAQ=60°，AQ=AP，
∴△APQ是等邊三角形，
∴AP=PQ，
由（2）可得，△DAQ≌△BAP，
∴BP=QD，
當(dāng)C，P，Q，D共線時(shí)，CP+PQ+QD=CD（最短），
此時(shí)，PA+PB+PC最短，
設(shè)AB與CD交于點(diǎn)O，
∵AC=AD=2$\sqrt{3}$，∠CAD=120°，
∴Rt△AOC中，AO=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，
∴CO=$\sqrt{3}$AO=3，
同理可得，OD=3，
∴CD=6，
∴PA+PB+PC的最小值為6．

點(diǎn)評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等進(jìn)行求解；解決第（3）問時(shí)，需要構(gòu)造等邊三角形，依據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行計(jì)算．