Question

操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，將一塊等腰直角三角板的直角頂點放在斜邊AB的中點P處，將三角板繞點P旋轉，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點（不包括射線的端點）.如圖1，2，3是旋轉三角板得到的圖形中的3種情況.
研究：

（1）三角板繞點P旋轉，觀察線段PD和PE之間有什么數(shù)量關系？并結合如圖2加以證明；
（2）三角板繞點P旋轉，△PBE是否能成為等腰三角形？若能，指出所有情況（即寫出△PBE為等腰三角形時CE的長；若不能，請說明理由；
（3）若將三角板的直角頂點放在斜邊AB上的M處，且AM∶MB＝1∶3，和前面一樣操作，試問線段MD和ME之間有什么數(shù)量關系？并結合如圖4加以證明.

Answer 1

（1）PD=PE；（2）1，，；（3）ME="3MD"

試題分析：（1）連接PC，通過證明△PCD≌△PBE，得出PD=PE；
（2）分為點C與點E重合、CE=、CE=1、E在CB的延長線上四種情況進行說明；
（3）作MH⊥CB，MF⊥AC，構造相似三角形△MDF和△MHE，然后利用對應邊成比例，就可以求出MD和ME之間的數(shù)量關系．
（1）連接PC，

因為△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中點，
∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=∠ACB=45°．
∴∠ACP=∠B=45°．
又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE，
∴∠DPC=∠BPE．
∴△PCD≌△PBE．
∴PD=PE；
（2）△PBE是等腰三角形，
①當PE=PB時，此時點C與點E重合，CE=0；
②當BP=BE時，E在線段BC上，CE=；E在CB的延長線上，CE=；
③當EP=EB時，CE=1；
（3）過點M作MF⊥AC，MH⊥BC
 
∵∠C=90°，
∴四邊形CFMH是矩形即∠FMH=90°，MF=CH．

∵∠DMF+∠DMH=∠DMH+∠EMH=90°，
∴∠DMF=∠EMH，
∵∠MFD=∠MHE=90°，
∴△MFD∽△MHE，

點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．