【題目】如圖1,已知等邊三角形ABC,點PAB的中點,點DE分別為邊AC、BC上的點,∠APD+BPE=60°.
1)①若PDACPEBC,直接寫出PDPE的數(shù)量關(guān)系:____;

②如圖1,證明:AP=AD+BE
2)如圖2,點FH分別在線段BC、AC上,連接線段PH、PF,若PDPFPD=PF,HPEP.求∠FHP的度數(shù);

【答案】(1)①PD=PE;②見解析;(2)45°

【解析】

1)①結(jié)論:PD=PE.如圖1中,連接CP.理由角平分線的性質(zhì)定理解決問題即可.
②如圖1中,作PMBCACMABC為等邊三角形,則APM為等邊三角形.證明DPM≌△EPBSAS)即可解決問題.
2)如圖2中,作PKPHCA于點K,作PMACM,PNBCN.首先證明PD=PF=PE,∠PHK=PKH=45°,再證明PKD≌△PHFSAS)即可解決問題.

1)①解:結(jié)論:PD=PE
理由:如圖1中,連接CP

∵△ABC是等邊三角形,
CA=CB,
AP=PB
CP平分∠ACB,
PDCAPECB,
PD=PE
故答案為PD=PE

②證明:如圖1中,作PMBCACMABC為等邊三角形,則APM為等邊三角形.
∵∠DPM+DPA=60°,∠APD+BPE=60°,
∴∠DPM=EPB
PD=PE,PM=PA=PB
∴△DPM≌△EPBSAS
DM=EB
AP=AM=AD+DM=AD+BE
2)解:如圖2中,作PKPHCA于點K,作PMACM,PNBCN

由(1)可知PM=PN,
∵∠DPE=120°,∠DCE=60°,
∴∠CDP+PEC=180°,
∵∠PDM+CDP=180°,
∴∠PDM=PEN,
∵∠PMD=PNE=90°
∴△PMD≌△PNEAAS),
PD=PE,
PF=PE,
PD=PE=PF
∵∠DPF=HPE=90°,∠DPE=120°
∴∠DPH=FPE=30°,∠PEF=PFE=PDA=75°,
∴∠AHP=PKH=45°,
PH=PK
∵∠KPH=DPF=90°,
∴∠KPM=HPF
PK=PH,PD=PF
∴△PKD≌△PHFSAS),
∴∠FHP=K=45°

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(3)該商業(yè)公司生產(chǎn)的此時令商品每件成本為15元,經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn),這種商品在未來20天內(nèi)的日銷量m(件)與時間t(天)的函數(shù)關(guān)系:m=﹣2t+100;該商品每天的價格y(元/件)與時間t(天)的函數(shù)關(guān)系為:y=t+20(1t20),其中t取整數(shù);在實際銷售的前20天中,該公司決定每銷售一件商品就捐贈a元利潤(a4)給希望工程.公司通過銷售記錄發(fā)現(xiàn),前20天中,每天扣除捐贈后的日銷售利潤時間t(天)的增大而增大(含20天的日銷售利潤和第19天的日銷售利潤相等的情況),求a的最小值.

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