Question

已知點E是邊長為2的正方形ABCD的AB邊的延長線上一點，P為邊AB上的一個動點（不與A、B重合），直線PF⊥PD，∠EBC的平分線與PF交于點Q．
（1）如圖1，當P為AB的中點時，求PD的長，并比較PD與PQ長的大��；
（2）如圖2，在點P運動過程中，PD與PQ長的大小關系會發(fā)生變化嗎？為什么？
（3）設PB=x，△BPQ和△PAD的面積分別是S₁、S₂，又y=，試求y與x之間的函數(shù)關系式，并判斷y隨PB的變化而怎樣變化？

Answer 1

解：（1）當P為AB的中點時，PA=1，AD=2，
由勾股定理PD==．
如圖，取AD中點M，連PM，則DM=PB=1，AM=AP=1，
∴∠AMP=45°，∴∠PMD=135°．
∵BQ為直角∠EBC的角平分線，∴∠QBE=45°，∴∠PBQ=135°．
∴∠PBQ=∠DMP
又∵PF⊥PD，∠DPA+∠FPH=90°
在Rt△PAD中∠DPA+∠PDA=90°，∴∠PDM=∠QPB
∴△PDM≌△QPB，∴PD=PQ
（2）在點P運動過程中，PD=PQ仍然成立．
證明：在點P運動過程中，設BP=x（0＜x＜2），則PA=2-x≠0，
同樣，在AD取點N，使DN=PB=x，則NA=PA=2-x，連PN，則△PAN為等腰直角三角形，故
∠PNA=45°
∴∠PND=135°，
∴∠PND=∠QBP．
又由（1）知∠QPB=∠PDN，
∴△PDN≌△QPB，
∴PD=PQ．

（3）作QH⊥AB于H，則Rt△PDA≌Rt△QPH，即QH=PA=2-x，
∴
又
∴y=
故知y隨PB的增大而減小（或減小而增大）．
分析：（1）PA=1，AD=2，由勾股定理PD=，取AD中點M，連PM，則DM=PB=1，AM=AP=1可通過求得∠PBQ=∠DMP，∠PDM=∠QPB證明△PDM≌△QPB繼而推出PD=PQ．
（2）在點P運動過程中，設BP=x（0＜x＜2），則PA=2-x≠0，在AD取點N，使DN=PB=x，則NA=PA=2-x，連PN，則△PAN為等腰直角三角形，求出∠PND=∠QBP再由（1）知∠QPB=∠PDN所以可證明△PDN≌△QPB?PD=PQ
（3）根據(jù)（2）表示出S₁=PB×QH、S₂=AP×AD，y===，所以Y隨PB的變大而減�。�
點評：本題主要考查三角形的全等及正方形的性質，注意在變化中尋找不變，深挖條件．