【題目】如圖,已知AC=BC,點D是BC上一點,∠ADE=∠C.
(1)如圖1,若∠C=90°,∠DBE=135°.
①求證:∠EDB=∠CAD;
②求證:DA=DE;
(2)如圖2,若∠C=40°,DA=DE,求∠DBE的度數(shù);
(3)如圖3,請直接寫出∠DBE與∠C之間滿足什么數(shù)量關(guān)系時,總有DA=DE成立.
【答案】(1)①證明見解析;②證明見解析;(2)∠AGD=110°;(3)∠DBE=90°+∠C.
【解析】
(1)①根據(jù)三角形的內(nèi)角和及平角的定義可得結(jié)論;
②如圖1,作輔助線,構(gòu)建等腰直角三角形,利用ASA證明△AFD≌△DBE(ASA),可得結(jié)論;
(2)方法一:如圖2,同理作輔助線,證明△AGD≌△DBE(SAS),得∠AGD=∠DBE=110°;
方法二:如圖2,延長DB到點H使DH=AC,連接EH,證明△ACD≌△DHE(SAS),得∠C=∠H=40°,CD=EH,再根據(jù)已知證明CD=BH=EH,可得結(jié)論;
(3)同理作輔助線,證明△AFD≌△DBE(SAS),根據(jù)三角形的外角和三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)論.
(1)證明:①∵∠ADE=∠C,
∴∠CAD=180°-∠C-∠ADC,
∠EDB=180°-∠ADE-∠ADC,
∴∠CAD=∠EDB;
②在AC上截取CF=CD,連接FD,(或在AC上截取AF=BD,連接FD)
∵∠C=90°,
∴∠CFD=∠CDF=45°,
∴∠AFD=135°=∠DBE,
∵AC=BC,
∴AC-CF=BC-CD,即:AF=BD,
由①知:∠CAD=∠BDE,
∴△AFD≌△DBE(ASA),
∴DA=DE;
(2)方法一:如圖2,在AC上截取AG=DB,連接GD(在AC上截取CG=CD,連接GD),
∵AC=BC,
∴AC-AG=BC-BD即:CG=CD,
∴∠CGD=∠CDG==70°,
∵DA=DE,∠CAD=∠EDB(已證),AG=DB,
∴△AGD≌△DBE(SAS),
∴∠AGD=∠DBE=110°;
方法二:如圖3,延長DB到點H使DH=AC,連接EH,
∵∠CAD=∠BDE,AD=DE,
∴△ACD≌△DHE(SAS),
∴∠C=∠H=40°,CD=EH,
∵AC=BC=DH,
∴CD=BH=EH,
∴∠HBE=∠HEB=70°,
∴∠DBE=110°;
(3)當(dāng)∠DBE=90°+∠C時,總有DA=DE成立;
理由是:如圖3,在AC上截取CF=CD,連接DF,則∠CDF=∠CFD,
設(shè)∠CDF=x,
△CDF中,∠C+∠CDF+∠CFD=180°,
∴∠C+x+x=180°,
x==90°-,
同理得△AFD≌△DBE(SAS),
∴∠AFD=∠DBE=∠C+∠CDF=∠C+x=∠C+90°-∠C,
∴∠DBE=90°+∠C.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)中,點O是坐標(biāo)原點,一次函數(shù)y1=﹣x+4與反比例函數(shù)y2=(x>0)的圖象交于A(1,m)、B(n,1)兩點.
(1)求k、m、n的值.
(2)根據(jù)圖象寫出當(dāng)y1>y2時,x的取值范圍.
(3)若一次函數(shù)圖象與x軸、y軸分別交于點N、M,則求出△AON的面積.
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【題目】已知:拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于點A(﹣1,0)和點B,交y軸于點C(0,2)
(1)求拋物線的表達式;
(2)點P為第一象限拋物線上一點,是否存在使△PBC面積最大的點P?若不存在,請說明理由;若存在,求出點P的坐標(biāo);
(3)點D坐標(biāo)為(1,﹣1),連接AD,將線段AD繞平面內(nèi)某一點旋轉(zhuǎn)180度得線段MN(點M、N分別與點A、D對應(yīng)),使點M、N都在拋物線上,求點M、N的坐標(biāo).
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【題目】如圖,∠CAB=∠DAB下列條件中不能使△ABC≌△ABD的是( )
A. ∠C=∠D B. ∠ABC=∠ABD C. AC=AD D. BC=BD
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以△ABC的一邊為邊畫等腰三角形,使得它的第三個頂點在△ABC的其他邊上,則可以畫出的不同的等腰三角形的個數(shù)最多為_____.
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【題目】李剛和父母一起從家到姑媽家去,兩地相距,出發(fā)前汽車油箱里有油,途中加油若干升,加油前后汽車都以的速度勻速行駛.已知油箱中剩余油量與行駛時間之間的關(guān)系如圖所示.則下列說法:①汽車行駛了后加油;②途中加油;③加油前油箱中剩余油量與行駛時間之間的函數(shù)關(guān)系式是;④汽車加油后還可行駛;⑤汽車到達姑媽家,油箱中還剩余油.其中全部正確的是( )
A.①④⑤B.①③④C.②⑤D.③④⑤
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【題目】如圖,點 E 是邊長為 1 的正方形 ABCD 的對角線 BD 上的一個動點(不與 B、D 兩點重合),過點 E 作直線 MN∥DC,交 AD 于 M,交 BC 于 N,連接 AE,作 EF⊥AE 于 E,交直線 CB 于 F.
(1)如圖 1,當(dāng)點 F 在線段 CB 上時,通過觀察或測量,猜想△AEF 的形狀,并證明你的猜想;
(2)如圖 2,當(dāng)點 F 在線段 CB 的延長線上時,其它條件不變,(1)中的結(jié)論還成立嗎?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由;
(3)在點 E 從點D 向點B 的運動過程中,四邊形 AFNM 的面積是否會發(fā)生變化?若發(fā)生了變化,請說明理由;若沒有發(fā)生變化,請求出其面積的值.
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【題目】如圖,已知一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點,與反比例函數(shù)的圖象分別交于C、D兩點,點D(2,﹣3),點A(-2,0).
(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;
(2)求△COD的面積;
(3)直接寫出y1>y2時自變量x的取值范圍.
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【題目】如圖所示在三角形△ABC中AB=AC,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E、F,則下列四個結(jié)論中,①AB上一點與AC上一點到D的距離相等;②AD上任意一點到AB、AC的距離相等;③∠BDE=∠CDF;④BD=CD,AD⊥BC.其中正確的個數(shù)是
A.1個B.2個C.3個D.4個
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