【題目】如圖,點(diǎn) E 是邊長為 1 的正方形 ABCD 的對(duì)角線 BD 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)不與 B、D 兩點(diǎn)重合,過點(diǎn) E 作直線 MN∥DC,交 AD M,交 BC N,連接 AE,作 EF⊥AE E,交直線 CB F.

(1)如圖 1,當(dāng)點(diǎn) F 在線段 CB 上時(shí),通過觀察或測量,猜想△AEF 的形狀,并證明你的猜想;

(2)如圖 2,當(dāng)點(diǎn) F 在線段 CB 的延長線上時(shí),其它條件不變,(1)中的結(jié)論還成立嗎?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由;

(3)在點(diǎn) E 從點(diǎn)D 向點(diǎn)B 的運(yùn)動(dòng)過程中,四邊形 AFNM 的面積是否會(huì)發(fā)生變化?若發(fā)生了變化,請說明理由;若沒有發(fā)生變化,請求出其面積的值.

【答案】(1)△AEF是等腰直角三角形,證明見解析;(2)△AEF是等腰直角三角形,證明見解析;(3)四邊形 AFNM 的面積沒有發(fā)生改變,都是

【解析】

根據(jù)四邊形 ABCD 是正方形,BD 是對(duì)角線,且 MNBA,求證△

DEM 和△BNE 都是等腰直角三角形.又利用 EFAE,可得∠EFN=AEM,然后即可求證,△AME≌△ENF;

利用(1)中證法求出 BN=EN=AM,AEM=EFN,即可得出答案;

分兩種情況進(jìn)行討論:(i)當(dāng)點(diǎn) E 運(yùn)動(dòng)到 BD 的中點(diǎn)時(shí),利用四邊形 AFNM

是矩形,可得 S四邊形AFNM=

(ii)當(dāng)點(diǎn) E 不在 BD 的中點(diǎn)時(shí),點(diǎn) E 在運(yùn)動(dòng)與點(diǎn) B、D 不重合的過程中,四邊形 AFNM 是直角梯形.由(1)知,△AME≌△ENF,同理,圖(2)AME≌△ENF,然后即可得出結(jié)論.

(1)∵四邊形 ABCD 是正方形,BD 是對(duì)角線,且 MNAB,

∴四邊形 ABNM 和四邊形 MNCD 都是矩形,

NEB 和△MDE 都是等腰直角三角形.

∴∠AEF=ENF=90°,MN=BC=AB,EN=BN

EN=AM,

又∵∠AEM+FEN=90°,AEM+EAM=90°

∴∠EAM=FEN,

∵∠AME=ENF=90°,

∴△AME≌△ENF(ASA);

AE=BE,

AEEF,

∴△AEF 是等腰直角三角形;

(2)由(1)同理可得:

BN=EN=AM,

AEM=EFN,

∵∠AME=ENF=90°

∴△AME≌△ENF(ASA);

AE=EF,

AEEF,

∴△AEF 是等腰直角三角形;

四邊形 AFNM 的面積沒有發(fā)生變化

(i)當(dāng)點(diǎn) E 運(yùn)動(dòng)到 BD 的中點(diǎn)時(shí),

四邊形 AFNM 是矩形,S 四邊形AFNM=

(ii)當(dāng)點(diǎn) E 不在 BD 的中點(diǎn)時(shí),點(diǎn) E 在運(yùn)動(dòng)(與點(diǎn) B、D 不重合)的過程中,四邊形 AFNM 是直角梯形.

由(1)知,△AME≌△ENF,

同理,圖(2),AME≌△ENF,

FN=EM=DM.

FN+AM=DM+AM=AD=1

這時(shí),S 四邊形AFNM

綜合(i)、(ii)可知四邊形 AFNM 的面積沒有發(fā)生改變,都是

練習(xí)冊系列答案
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