【題目】如圖,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB>CD,AD=AB+CD.
(1)利用尺規(guī)作∠ADC的平分線DE,交BC于點(diǎn)E,連接AE(保留作圖痕跡,不寫作法);
(2)在(1)的條件下,①證明:AE⊥DE;
②若CD=2,AB=4,點(diǎn)M,N分別是AE,AB上的動(dòng)點(diǎn),求BM+MN的最小值.
【答案】(1)答案見解析;(2)①證明見解析;②.
【解析】
(1)利用尺規(guī)作出∠ADC的角平分線即可;
(2)①延長DE交AB的延長線于F.只要證明AD=AF,DE=EF,利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可解決問題;②作點(diǎn)B關(guān)于AE的對稱點(diǎn)K,連接EK,作KH⊥AB于H,DG⊥AB于G.連接MK.由MB=MK,推出MB+MN=KM+MN,根據(jù)垂線段最短可知:當(dāng)K、M、N共線,且與KH重合時(shí),KM+MN的值最小,最小值為KH的長.
(1)如圖,∠ADC的平分線DE如圖所示,
(2)延長DE交AB的延長線于F,
∵CD∥AF,
∴∠CDE=∠F,
∵∠CDE=∠ADE,
∴∠ADF=∠F,
∴AD=AF,
∵AD=AB+CD=AB+BF,
∴CD=BF,
∵∠DEC=∠BEF,
∴△DEC≌△FEB,
∴DE=EF,
∵AD=AF,
∴AE⊥DE;
②作點(diǎn)B關(guān)于AE的對稱點(diǎn)K,連接EK,作KH⊥AB于H,DG⊥AB于G.連接MK,
∵AD=AF,DE=EF,
∴AE平分∠DAF,則△AEK≌△AEB,
∴AK=AB=4,
在Rt△ADG中,DG,
∵KH∥DG,
∴,
∴,
∴KH,
∵MB=MK,
∴MB+MN=KM+MN,
∴當(dāng)K、M、N共線,且與KH重合時(shí),KM+MN的值最小,最小值為KH的長,∴BM+MN的最小值為.
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【題目】在四張背面完全相同的紙牌A、B、C、D中,其中正面分別畫有四個(gè)不同的幾何圖形(如圖),小華將這4張紙牌背面朝上洗勻后摸出一張(不放回),再從余下的3張紙牌中摸出一張.
(1)用樹狀圖(或列表法)表示兩次摸牌所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(紙牌可用A、B、C、D表示);
(2)求摸出兩張紙牌牌面上所畫幾何圖形,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的概率.
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【題目】如圖,九(1)班課外活動(dòng)小組利用標(biāo)桿測量學(xué)校旗桿的高度,已知標(biāo)桿高度CD=3m,標(biāo)桿與旗桿的水平距離BD=15m,人的眼睛與地面的高度EF=1.6m,人與標(biāo)桿CD的水平距離DF=2m,人的眼睛E、標(biāo)桿頂點(diǎn)C和旗桿頂點(diǎn)A在同一直線,求旗桿AB的高度.
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【題目】如圖,在ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分別為E,F(xiàn),且BE=DF.
(1)求證:ABCD是菱形;
(2)若AB=5,AC=6,求ABCD的面積.
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【題目】永州植物園“清風(fēng)園”共設(shè)11個(gè)主題展區(qū).為推進(jìn)校園文化建設(shè),某校九年級(1)班組織部分學(xué)生到“清風(fēng)園”參觀后,開展“我最喜歡的主題展區(qū)”投票調(diào)查.要求學(xué)生從“和文化”、“孝文化”、“德文化”、“理學(xué)文化”、“瑤文化”五個(gè)展區(qū)中選擇一項(xiàng),根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制出了兩幅不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖.結(jié)合圖中信息,回答下列問題.
(1)參觀的學(xué)生總?cè)藬?shù)為 人;
(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中最喜歡“瑤文化”的學(xué)生占參觀總學(xué)生數(shù)的百分比為 ;
(3)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(4)從最喜歡“德文化”的學(xué)生中隨機(jī)選兩人參加知識搶答賽,最喜歡“德文化”的學(xué)生甲被選中的概率為 .
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,菱形ABCD的頂點(diǎn)A在y軸上,且點(diǎn)A坐標(biāo)為(0,4),BC在x軸正半軸上,點(diǎn)C在B點(diǎn)右側(cè),反比例函數(shù)(x>0)的圖象分別交邊AD,CD于E,F,連結(jié)BF,已知,BC=k,AE=CF,且S四邊形ABFD=20,則k= _________.
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【題目】一名徒步愛好者來衡陽旅行,他從賓館C出發(fā),沿北偏東30°的方向行走2000米到達(dá)石鼓書院A處,參觀后又從A處沿正南方向行走一段距離,到達(dá)位于賓館南偏東45°方向的雁峰公園B處,如圖所示.
(1)求這名徒步愛好者從石鼓書院走到雁峰公園的途中與賓館之間的最短距離;
(2)若這名徒步愛好者以100米/分的速度從雁峰公園返回賓館,那么他在15分鐘內(nèi)能否到達(dá)賓館?
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【題目】上周六上午點(diǎn),小穎同爸爸媽媽一起從西安出發(fā)回安康看望姥姥,途中他們在一個(gè)服務(wù)區(qū)休息了半小時(shí),然后直達(dá)姥姥家,如圖,是小穎一家這次行程中距姥姥家的距離(千米)與他們路途所用的時(shí)間(時(shí))之間的函數(shù)圖象,請根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)求直線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)已知小穎一家出服務(wù)區(qū)后,行駛分鐘時(shí),距姥姥家還有千米,問小穎一家當(dāng)天幾點(diǎn)到達(dá)姥姥家?
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