【題目】如圖,拋物線y=-x2+bx+c交x軸于點(diǎn)A(-3,0)和點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)C(0,3).

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)若點(diǎn)P在拋物線上,且S△AOP=4SBOC,求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)如圖b,設(shè)點(diǎn)Q是線段AC上的一動(dòng)點(diǎn),作DQ⊥x軸,交拋物線于點(diǎn)D,求線段DQ長度的最大值.

【答案】(1)拋物線的解析式為:y=-x2-2x+3.(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(-1,4)或(-1+2,-4)或(-1-2,-4);(3)QD有最大值

【解析】

試題分析:(1)把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式,列出關(guān)于系數(shù)的方程組,通過解方程組求得系數(shù)的值;

(2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,-x2-2x+3),根據(jù)S△AOP=4S△BOC列出關(guān)于x的方程,解方程求出x的值,進(jìn)而得到點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=x+3,再設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x,x+3),則D點(diǎn)坐標(biāo)為(x,x2+2x-3),然后用含x的代數(shù)式表示QD,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段QD長度的最大值.

試題解析:(1)把A(-3,0),C(0,3)代入y=-x2+bx+c,得

,

解得

故該拋物線的解析式為:y=-x2-2x+3.

(2)由(1)知,該拋物線的解析式為y=-x2-2x+3,則易得B(1,0).

∵S△AOP=4S△BOC,

×3×|-x2-2x+3|=4××1×3.

整理,得(x+1)2=0或x2+2x-7=0,

解得x=-1或x=-1±2

則符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(-1,4)或(-1+2,-4)或(-1-2,-4);

(3)設(shè)直線AC的解析式為y=kx+t,將A(-3,0),C(0,3)代入,

,

解得

即直線AC的解析式為y=x+3.

設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x,x+3),(-3≤x≤0),則D點(diǎn)坐標(biāo)為(x,-x2-2x+3),

QD=(-x2-2x+3)-(x+3)=-x2-3x=-(x+2+,

∴當(dāng)x=-時(shí),QD有最大值

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(1)在政府未出臺(tái)補(bǔ)貼措施前,該市種植這種蔬菜的總收益額為多少?

(2)分別求出政府補(bǔ)貼政策實(shí)施后,種植畝數(shù)y和每畝蔬菜的收益z與政府補(bǔ)貼數(shù)額x之間的函數(shù)關(guān)系式;

(3)要使全市這種蔬菜的總收益w(元)最大,政府應(yīng)將每畝補(bǔ)貼數(shù)額x定為多少?并求出總收益w的最大值.

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