【題目】如圖,在△AOB中,∠AOB為直角,OA=6,OB=8,半徑為2的動圓圓心Q從點O出發(fā),沿著OA方向以1個單位長度/秒的速度勻速運動,同時動點P從點A出發(fā),沿著AB方向也以1個單位長度/秒的速度勻速運動.設運動時間為t秒(0<t≤5)以P為圓心,PA長為半徑的⊙P與AB、OA的另一個交點分別為C、D,連結CD、QC.
(1)當t為何值時,點Q與點D重合?
(2)當⊙Q經(jīng)過點A時,求⊙P被OB截得的弦長.
【答案】
(1)解:∵OA=6,OB=8,
∴由勾股定理可得:AB=10,
由題意知:OQ=t=AP=t,AC=2t,
∵AC是⊙P的直徑,
∴∠CDA=90°,
∴CD//OB,
∴△ACD∽△ABO,
∴ = ,即 = ,
∴AD= t,
∵D與Q重合,
∴ t+t=6,
解得t=
(2)解:如圖,過點P作PE⊥OB于點E,⊙P與OB相交于點F、G,連接PF,
當⊙Q經(jīng)過A點時,OQ=OA﹣QA=4,
∴t= =4s,
∴PA=4,
∴BP=AB﹣PA=6,
∵∠PEB=∠O=90°,
∴PE//OA,
∴△PEB∽△AOB,
∴ = ,即 = ,
∴PE= ,
∵PF=PA=4,
∴Rt△PEF中,由勾股定理可得EF= = ,
由垂徑定理可求知:FG=2EF= ,
故⊙P被OB截得的弦長為
【解析】(1)由題意知CD⊥OA,所以△ACD∽△ABO,利用對應邊的比求出AD的長度,若Q與D重合時,則,AD+OQ=OA,列出方程即可求出t的值;(2)由于0<t≤5,當Q經(jīng)過A點時,OQ=4,此時用時為4s,過點P作PE⊥OB于點E,利用垂徑定理即可求出⊙P被OB截得的弦長.
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和垂徑定理的相關知識點,需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2;垂徑定理:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧才能正確解答此題.
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【題目】某商場國慶節(jié)搞促銷活動,購物不超過200元不給優(yōu)惠,超過200(不含200元)元而不足500元,所有商品按購物價優(yōu)惠10%,超過500元的,其中500元按9折優(yōu)惠,超過的部分按8折優(yōu)惠,A,B兩個商品價格分別為180元,550元。
(1) 某人第一次購買一件A商品,第二次購買一件B商品,實際共付款多少元?
(2) 若此人一次購物購買A,B商品各一件,則實際付款多少錢?
(3) 國慶期間,某人在該商場兩次購物分別付款180元和550元,如果他合起來一次性購買同樣的商品,還可節(jié)約多少錢?
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【題目】已知二次函數(shù)y=kx2﹣6x+3,若k在數(shù)組(﹣3,﹣2,﹣1,1,2,3,4)中隨機取一個,則所得拋物線的對稱軸在直線x=1的右方時的概率為( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】列方程解應用題:五蓮縣新瑪特購物中心第一次用5000元購進甲、乙兩種商品,其中乙商品的件數(shù)比甲商品件數(shù)的倍多15件,甲、乙兩種商品的進價和售價如下表(注:獲利=售價﹣進價)
甲 | 乙 | |
進價(元/件) | 20 | 30 |
售價(元/件) | 29 | 40 |
(1)新瑪特購物中心將第一次購進的甲、乙兩種商品全部賣完后一共可獲得多少利潤?
(2)該購物中心第二次以第一次的進價又購進甲、乙兩種商品,其中甲種商品的件數(shù)不變,乙種商品的件數(shù)是第一次的3倍;甲商品按原價銷售,乙商品打折銷售,第二次兩種商品都銷售完以后獲得總利潤比第一次獲得的總利潤多160元,求第二次乙種商品是按原價打幾折銷售?
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【題目】如圖,航空母艦始終以40千米/時的速度由西向東航行,飛機以800千米/時的速度從艦上起飛,向西航行執(zhí)行任務,如果飛機在空中最多能連續(xù)飛行4個小時,那么它在起飛_____小時后就必須返航,才能安全停在艦上?
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【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c(a>0)的圖象經(jīng)過點B(14,0)和C(0,﹣8),對稱軸為x=4.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)點D在線段AB上且AD=AC,若動點P從A出發(fā)沿線段AB以每秒1個單位長度的速度勻速運動,同時另一動點N以某一速度從C出發(fā)沿線段CB勻速運動,問是否存在某一時刻,使線段PN被直線CD垂直平分?若存在,請求出此時的時間t(秒)和點N的運動速度;若不存在,請說明理由;
(3)在(2)的結論下,直線x=1上是否存在點M使△MPN為等腰三角形?若存在,請直接寫出所有點M的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=30°,點D是AB邊的中點.
(1)如圖1,若CD=4,求△ACB的周長.
(2)如圖2,若E為AC的中點,將線段CE以C為旋轉中心順時針旋轉60°,使點E至點F處,連接BF交CD于點M,連接DF,取DF的中點N,連接MN,求證:MN=2CM.
(3)如圖3,以C為旋轉中心將線段CD順時針旋轉90°,使點D至點E處,連接BE交CD于M,連接DE,取DE的中點N,連接交MN,試猜想BD、MN、MC之間的關系,直接寫出其關系式,不證明.
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【題目】已知數(shù)軸上,點O為原點,點A對應的數(shù)為11,點B對應的數(shù)為b,點C在點B右側,長度為3個單位的線段BC在數(shù)軸上移動,
(1)如圖1,當線段BC在O,A兩點之間移動到某一位置時,恰好滿足線段AC=OB,求此時b的值;
(2)線段BC在數(shù)軸上沿射線AO方向移動的過程中,是否存在AC﹣OB=AB?若存在,求此時滿足條件的b的值;若不存在,說明理由.
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【題目】已知5臺A型機器一天的產(chǎn)品裝滿8箱后還剩4個,7臺B型機器一天的產(chǎn)品裝滿11箱后還剩1個,每臺A型機器比B型機器一天多生產(chǎn)1個產(chǎn)品.
(1)求每箱裝多少個產(chǎn)品.
(2)3臺A型機器和2臺B型機器一天能生產(chǎn)多少個產(chǎn)品?
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