【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c(a>0)的圖象經(jīng)過點B(14,0)和C(0,﹣8),對稱軸為x=4.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)點D在線段AB上且AD=AC,若動點P從A出發(fā)沿線段AB以每秒1個單位長度的速度勻速運動,同時另一動點N以某一速度從C出發(fā)沿線段CB勻速運動,問是否存在某一時刻,使線段PN被直線CD垂直平分?若存在,請求出此時的時間t(秒)和點N的運動速度;若不存在,請說明理由;
(3)在(2)的結(jié)論下,直線x=1上是否存在點M使△MPN為等腰三角形?若存在,請直接寫出所有點M的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:∵拋物線過C(0,﹣8),
∴c=﹣8,即y=ax2+bx﹣8,
由函數(shù)經(jīng)過點(14,0)及對稱軸為x=4可得 ,
解得: ,
∴該拋物線的解析式為y= x2﹣ x﹣8
(2)
解:存在直線CD垂直平分PN.
由函數(shù)解析式為y= x2﹣ x﹣8,可求出點A坐標為(﹣6,0),
在Rt△AOC中,AC= = =10=AD,
故可得OD=AD﹣OA=4,點D在函數(shù)的對稱軸上,
∵線CD垂直平分PN,
∴∠PDC=∠NDC,PD=DN,
由AD=AC可得,∠PDC=∠ACD,
∴∠NDC=∠ACD,
∴DN//AC,
又∵DB=AB﹣AD=20﹣10=10=AD,
∴點D是AB中點,
∴DN為△ABC的中位線,
∴DN= AC=5,
∴AP=AD﹣PD=AD﹣DN=10﹣5=5,
∴t=5÷1=5(秒),
∴存在t=5(秒)時,線段PN被直線CD垂直平分.
在Rt△BOC中,BC= = =2 ,
而DN為△ABC的中位線,N是BC中點,
∴CN= ,
∴點N的運動速度為每秒 單位長度
(3)
解:存在,過點N作NH⊥x軸于H,則NH= OC=4,
PH=OP+OH=1+7=8,
在Rt△PNH中,PN= = =4 ,
①當MP=MN,即M為頂點,則此時CD與PN的交點即是M點(上面已經(jīng)證明CD垂直平分PN),
設(shè)直線CD的直線方程為:y=kx+b(k≠0),
因為點C(0,﹣8),點D(4,0),
所以可得直線CD的解析式為:y=2x﹣8,
當x=1時,y=﹣6,
∴M1(1,﹣6);
②當PN為等腰△MPN的腰時,且P為頂點.
設(shè)直線x=1上存在點M(1,y),因為點P坐標為(﹣1,0),
從而可得PM2=22+y2,
又PN2=80,
則22+y2=80,
即y=±2 ,
∴M2(1,2 ),M3(1,﹣2 );
③當PN為等腰△MPN的腰時,且N為頂點,點N坐標為(7,﹣4),
設(shè)直線x=1存在點M(1,y),
則NM2=62+(y+4)2=80,
解得:y=2 ﹣4或﹣2 ﹣4;
∴M4(1,﹣4+2 ),M5(1,﹣4﹣2 ).
綜上所述:存在這樣的五點:M1(1,﹣6),M2(1,2 ),M3(1,﹣2 ),M4(1,﹣4+2 ),M5(1,﹣4﹣2 ).
【解析】(1)由題意拋物線y=ax2+bx+c(a>0)的圖象經(jīng)過點B(14,0)和C(0,﹣8),對稱軸為x=4,根據(jù)待定系數(shù)法可以求得該拋物線的解析式;(2)假設(shè)存在,設(shè)出時間t,則根據(jù)線段PN被直線CD垂直平分,再由垂直平分線的性質(zhì)及勾股定理來求解t,看t是否存在;(3)假設(shè)直線x=1上是存在點M,使△MPN為等腰三角形,此時要分兩種情況討論:①當PN為等腰△MPN的腰時,且P為頂點;②當PN為等腰△MPN的腰時,且Q為頂點;然后再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及直角三角形的勾股定理求出M點坐標.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC 在平面直角坐標系 xOy 中的位置如圖所示.
(1)作△ABC 關(guān)于點 O 成中心對稱的△A1B1C1;
(2)作出將△A1B1C1向右平移 3 個單位,再向上平移4 個單位后的△A2B2C2;
(3)請直接寫出點 B2 關(guān)于 x 軸對稱的點的坐標.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了預(yù)防“甲型H1N1”,某校對教室采用藥薰消毒法進行消毒,已知藥物燃燒時,室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(mg)與時間x(min)成正比例,藥物燃燒后,y與x成反比例,如圖所示,現(xiàn)測得藥物8min燃畢,此時室內(nèi)空氣每立方米的含藥量為6mg,請你根據(jù)題中提供的信息,解答下列問題:
(1)藥物燃燒時,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式?自變量x的取值范圍是什么?藥物燃燒后y與x的函數(shù)關(guān)系式呢?
(2)研究表明,當空氣中每立方米的含藥量低于1.6mg時,生方可進教室,那么從消毒開始,至少需要幾分鐘后,生才能進入教室?
(3)研究表明,當空氣中每立方米的含藥量不低于3mg且持續(xù)時間不低于10min時,才能殺滅空氣中的毒,那么這次消毒是否有效?為什么?
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【題目】已知關(guān)于x的方程x2﹣2(k﹣3)x+k2﹣4k﹣1=0的兩實數(shù)根之和不小于﹣6
(1)求k的取值范圍;
(2)若以方程x2﹣2(k﹣3)x+k2﹣4k﹣1=0的兩個根為橫坐標、縱坐標的點恰在反比例函數(shù)y= 的圖象上,求滿足條件的m的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△AOB中,∠AOB為直角,OA=6,OB=8,半徑為2的動圓圓心Q從點O出發(fā),沿著OA方向以1個單位長度/秒的速度勻速運動,同時動點P從點A出發(fā),沿著AB方向也以1個單位長度/秒的速度勻速運動.設(shè)運動時間為t秒(0<t≤5)以P為圓心,PA長為半徑的⊙P與AB、OA的另一個交點分別為C、D,連結(jié)CD、QC.
(1)當t為何值時,點Q與點D重合?
(2)當⊙Q經(jīng)過點A時,求⊙P被OB截得的弦長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點C,D在線段AB上,M、N分別是AC、BD的中點,若AB=20,CD=4,
(1)求MN的長.
(2)若AB=a,CD=b,請用含有a、b的代數(shù)式表示出MN的長.
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【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分線DE交AC于點D,交AB于點E,下列敘述結(jié)論錯誤的是( )
A. BD平分∠ABC B. △BCD的周長等于AB+BC
C. 點D是線段AC的中點 D. AD=BD=BC
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【題目】閱讀下面材料:
小明想探究函數(shù)的性質(zhì),他借助計算器求出了y與x的幾組對應(yīng)值,并在平面直角坐標系中畫出了函數(shù)圖象:
x | … | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | … |
y | … | 2.83 | 1.73 | 0 | 0 | 1.73 | 2.83 | … |
小聰看了一眼就說:“你畫的圖象肯定是錯誤的.”
請回答:小聰判斷的理由是_____________.請寫出函數(shù)的一條性質(zhì):_____________.
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