【題目】如圖,在菱形ABCD中,點(diǎn)P在對(duì)角線(xiàn)AC上,且PA=PD,⊙O是△PAD的外接圓.
⑴求證:AB是⊙O的切線(xiàn);
⑵若AC=8,tan∠BAC=,求⊙O的直徑.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)⊙O的直徑為.
【解析】
(1)連結(jié)OP、OA,OP交AD于E,由PA=PD得弧AP=弧DP,根據(jù)垂徑定理的推理得OP⊥AD,AE=DE,則∠1+∠OPA=90°,而∠OAP=∠OPA,所以∠1+∠OAP=90°,再根據(jù)菱形的性質(zhì)得∠1=∠2,所以∠2+∠OAP=90°,然后根據(jù)切線(xiàn)的判定定理得到直線(xiàn)AB與⊙O相切;
(2)連結(jié)BD,交AC于點(diǎn)F,根據(jù)菱形的性質(zhì)得DB與AC互相垂直平分,則AF=4,tan∠BAC=,得到DF=BF=2,根據(jù)勾股定理得到AD=2,求得AE=,求到PE=AE·tan∠DAC= AE·tan∠BAC=設(shè)⊙O的半徑為R,則OE=R-,OA=R,根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論.
(1)連結(jié)OP、OA,OP交AD于E,如圖,
∵PA=PD,
∴弧AP=弧DP.
∴OP⊥AD,AE=DE.
∴∠1+∠OPA=90°.
∵OP=OA,
∴∠OAP=∠OPA.
∴∠1+∠OAP=90°.
∵四邊形ABCD為菱形,
∴∠1=∠2.
∴∠2+∠OAP=90°.
∴OA⊥AB.
∴直線(xiàn)AB與⊙O相切.
(2)連結(jié)BD,交AC于點(diǎn)F,如上圖,
∵四邊形ABCD為菱形,
∴DB與AC互相垂直平分.
∵AC=8,tan∠BAC=,∠BAC=∠DAC,
∴AF=4,tan∠DAC= tan∠BAC=
∴DF=2.
∴AE=.
在Rt△PAE中,tan∠DAC= tan∠BAC=,
∴PE= PE=AE·tan∠DAC= AE·tan∠BAC=
設(shè)⊙O的半徑為R,則OE=R﹣,OA=R,
在Rt△OAE中,∵OA2=OE2+AE2,
∴R2=(R﹣)2+()2,
∴R=.
⊙O的直徑為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】以四邊形ABCD的邊AB、AD為底邊分別作等腰三角形ABE和等腰三角形ADF.
(1)當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)(如圖①),以邊AB、AD為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角△ABE和等腰直角△ADF,連接BF、ED,線(xiàn)段BF和ED的數(shù)量關(guān)系是_____________;
(2)當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)(如圖②),以邊AB、AD為斜邊分別向矩形內(nèi)側(cè)、外側(cè)作等腰直角△ABE和等腰直角△ADF,連接EF、BD,線(xiàn)段EF和BD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)當(dāng)四邊形ABCD為平行四邊形時(shí),以邊AB、AD為底邊分別向平行四邊形內(nèi)側(cè)、外側(cè)作等腰△ABE和等腰△ADF,且△ABE和△ADF的頂角均為 ,連接EF、BD,交點(diǎn)為G.請(qǐng)用表示出∠FGD,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是點(diǎn)A(﹣2,3)、點(diǎn)B(﹣1,1)、點(diǎn)C(0,2).
(1)作△ABC關(guān)于C成中心對(duì)稱(chēng)的△A1B1C1;
(2)將△A1B1C1向右平移3個(gè)單位,作出平移后的△A2B2C2;
(3)在x軸上求作一點(diǎn)P,使PA1+PC1的值最小,并寫(xiě)出點(diǎn) P 的坐標(biāo).(不寫(xiě)解答過(guò)程,直接寫(xiě)出結(jié)果)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分線(xiàn),DE⊥AB,垂足為E.
(1)已知CD=4cm,求AC的長(zhǎng);
(2)求證:AB=AC+CD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】 如圖,已知AB=4,P為線(xiàn)段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),分別以AP,PB為邊在AB的同側(cè)作菱形APCD和菱形PBFE,點(diǎn)P,C,E在一條直線(xiàn)上,∠DAP=60°.M,N分別是對(duì)角線(xiàn)AC,BE的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上移動(dòng)時(shí),點(diǎn)M,N之間的距離最短為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義:圓中有公共端點(diǎn)的兩條弦組成的折線(xiàn)稱(chēng)為圓的一條折弦.阿基米德折弦定理:如圖1,AB和BC組成圓的折弦,AB>BC,M是弧ABC的中點(diǎn),MF⊥AB于F,則AF=FB+BC.
如圖2,△ABC中,∠ABC=60°,AB=8,BC=6,D是AB上一點(diǎn),BD=1,作DE⊥AB交△ABC的外接圓于E,連接EA,則∠EAC=_____°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線(xiàn)C:y=(x+2)[t(x+1)-(x+3)],其中-7≤t≤-2,且無(wú)論t 取任何符合條件的實(shí)數(shù),點(diǎn)A,P 都在拋物線(xiàn)C 上.
(1)當(dāng)t=-5時(shí),求拋物線(xiàn)C 的對(duì)稱(chēng)軸;
(2)當(dāng)-60≤n≤-30 時(shí),判斷點(diǎn)(1,n)是否在拋物線(xiàn)C上, 并說(shuō)明理由;
(3)如圖,若點(diǎn)A在x軸上,過(guò)點(diǎn)A作線(xiàn)段AP的垂線(xiàn)交y軸于點(diǎn)B,交拋物線(xiàn)C于點(diǎn)D,當(dāng)點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為m+時(shí),求S△PAD的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小明在熱氣球A上看到正前方橫跨河流兩岸的大橋BC,并測(cè)得B、C兩點(diǎn)的俯角分別為45°、35°.已知大橋BC與地面在同一水平面上,其長(zhǎng)度為100m,求熱氣球離地面的高度.(結(jié)果保留整數(shù))(參考數(shù)據(jù):sin35°=0.57,cos35°=0.82,tan35°=0.70)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】參與兩個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng),再回答問(wèn)題:
活動(dòng):觀(guān)察下列兩個(gè)兩位數(shù)的積兩個(gè)乘數(shù)的十位上的數(shù)都是9,個(gè)位上的數(shù)的和等于,猜想其中哪個(gè)積最大?
,,,,,,,,.
活動(dòng):觀(guān)察下列兩個(gè)三位數(shù)的積兩個(gè)乘數(shù)的百位上的數(shù)都是9,十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)組成的數(shù)的和等于,猜想其中哪個(gè)積最大?
,,,,,,.
分別寫(xiě)出在活動(dòng)、中你所猜想的是哪個(gè)算式的積最大?
對(duì)于活動(dòng),請(qǐng)用二次函數(shù)的知識(shí)證明你的猜想.
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