【題目】 如圖,已知AB=4,P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),分別以AP,PB為邊在AB的同側(cè)作菱形APCD和菱形PBFE,點(diǎn)P,C,E在一條直線上,∠DAP=60°.M,N分別是對(duì)角線AC,BE的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)時(shí),點(diǎn)M,N之間的距離最短為______.
【答案】
【解析】
連接PM、PN.首先證明∠MPN=90°,要求MN,只要求出兩條直角邊PM、PN,而容易發(fā)現(xiàn)菱形產(chǎn)生了等腰三角形,結(jié)合題中中點(diǎn),可用三線合一,我們發(fā)現(xiàn)PM、PN都在含有30度的直角三角形中,P是動(dòng)點(diǎn),我們只需設(shè)出AP的長(zhǎng),用未知數(shù)表示PM、PN,進(jìn)而用勾股定理建立MN關(guān)于未知數(shù)的表達(dá)式,即可解決問(wèn)題.
解:連接PM、PN.
∵四邊形APCD,四邊形PBFE是菱形,∠DAP=60°,
∴∠APC=120°,∠EPB=60°,
又∵M,N分別是對(duì)角線AC,BE的中點(diǎn),
∴∠CPM=∠APM=∠APC=60°,,∠EPN=∠EPB=30°,
∴∠MPN=∠CPM+∠EPN=60°+30°=90°,
∴
設(shè)PA=2a,則PB=4-2a,
∵,∠APM=60°,
∴在直角三角形中,,,
∴PM==a,
同理BN==2-a,
∵在直角三角形PBN中,
∴PN==(2-a),
∴===,
∴a=時(shí),點(diǎn)M,N之間的距離最短,最短距離為,
故答案為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上,O是EG的中點(diǎn),∠EGC的平分線GH過(guò)點(diǎn)D,交BE于點(diǎn)H,連接OH,FH,EG與FH交于點(diǎn)M,對(duì)于下面四個(gè)結(jié)論:①GH⊥BE;②BG=EG;③△MFG為等腰三角形;④DE:AB=1+:1,其中正確結(jié)論的序號(hào)為_________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)在雙曲線上,垂直軸,垂足為,點(diǎn)在上,平行于軸交曲線于點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),已知,點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(1)求該雙曲線的解析式;
(2)求的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖①,為美化校園環(huán)境,某校計(jì)劃在一塊長(zhǎng)為60米,寬為40米的長(zhǎng)方形空地上,修建一個(gè)長(zhǎng)方形花圃,并將花圃四周余下的空地修建成同樣寬的甬道,設(shè)甬道的寬為a米.
①②
(1)用含a的式子表示花圃的面積;
(2)如果甬道所占面積是整個(gè)長(zhǎng)方形空地面積的,求此時(shí)甬道的寬;
(3)已知某園林公司修建甬道、花圃的造價(jià)y1(元)、y2(元)與修建面積x(平方米)之間的函數(shù)關(guān)系如圖②所示.如果學(xué)校決定由該公司承建此項(xiàng)目,并要求修建的甬道寬不少于2米且不超過(guò)10米,那么甬道的寬為多少米時(shí),修建的甬道和花圃的總造價(jià)最低?最低總造價(jià)為多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠A=30°,點(diǎn)O是邊AB上一點(diǎn),以點(diǎn)O為圓心,以OB為半徑作圓,⊙O恰好與AC相切于點(diǎn)D,連接BD.若BD平分∠ABC,AD=2,則線段CD的長(zhǎng)是( 。
A. 2 B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,點(diǎn)P在對(duì)角線AC上,且PA=PD,⊙O是△PAD的外接圓.
⑴求證:AB是⊙O的切線;
⑵若AC=8,tan∠BAC=,求⊙O的直徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我校為了了解九年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)測(cè)試情況,隨機(jī)抽取了本校九年級(jí)部分學(xué)生的身體素質(zhì)測(cè)試成績(jī)?yōu)闃颖,?/span>A(優(yōu)秀)、B(良好)、C(合格)、D(不合格)四個(gè)等級(jí)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖,如圖,請(qǐng)你結(jié)合圖表所給信息解答下列問(wèn)題:
(1)將條形統(tǒng)計(jì)圖在圖中補(bǔ)充完整;
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中“A”部分所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)是 ;
(3)若我校九年級(jí)共有2000名學(xué)生參加了身體素質(zhì)測(cè)試,試估計(jì)測(cè)試成績(jī)合格以上(含合格)的人數(shù)為 人.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,點(diǎn)E是A邊上一點(diǎn),且AE=,點(diǎn)F是邊BC上的任意一點(diǎn),把△BEF沿EF翻折,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G,連接AG,CG,則四邊形AGCD的面積的最小值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知二次函數(shù)(b,c為常數(shù))的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,1),點(diǎn)C(0,4),頂點(diǎn)為點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)A作AB∥x軸,交y軸于點(diǎn)D,交該二次函數(shù)圖象于點(diǎn)B,連結(jié)BC.
(1)求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)若將該二次函數(shù)圖象向下平移個(gè)單位,使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)與△ABC的外心重合,求的取值;
(3)點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn),使得△ACB與△MCP,且CM的對(duì)應(yīng)邊為AC,請(qǐng)寫(xiě)出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)(直接寫(xiě)出結(jié)果,不必寫(xiě)解答過(guò)程).
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