Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△AMB的面積為S．

求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．

（3）若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線y=﹣x上的動(dòng)點(diǎn)，判斷有幾個(gè)位置能夠使得點(diǎn)P、Q、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

       解：（1）設(shè)此拋物線的函數(shù)解析式為：

y=ax²+bx+c（a≠0），

將A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三點(diǎn)代入函數(shù)解析式得：

解得，

所以此函數(shù)解析式為：y=；

（2）∵M(jìn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，且點(diǎn)M在這條拋物線上，

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為：（m，），

∴S=S_△AOM+S_△OBM﹣S_△AOB

=×4×（﹣m²﹣m+4）+×4×（﹣m）﹣×4×4

=﹣m²﹣2m+8﹣2m﹣8

=﹣m²﹣4m，

=﹣（m+2）²+4，

∵﹣4＜m＜0，

當(dāng)m=﹣2時(shí)，S有最大值為：S=﹣4+8=4．

答：m=﹣2時(shí)S有最大值S=4．

（3）設(shè)P（x，x²+x﹣4）．

當(dāng)OB為邊時(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知PB∥OQ，

∴Q的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值等于P的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，

又∵直線的解析式為y=﹣x，

則Q（x，﹣x）．

由PQ=OB，得|﹣x﹣（x²+x﹣4）|=4，

解得x=0，﹣4，﹣2±2．

x=0不合題意，舍去．

如圖，當(dāng)BO為對(duì)角線時(shí)，知A與P應(yīng)該重合，OP=4．四邊形PBQO為平行四邊形則BQ=OP=4，Q橫坐標(biāo)為4，代入y=﹣x得出Q為（4，﹣4）．

由此可得Q（﹣4，4）或（﹣2+2，2﹣2）或（﹣2﹣2，2+2）或（4，﹣4）．