【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,⊙C的半徑為r,P是與圓心C不重合的點,點P關(guān)于⊙C的限距點的定義如下:若P′為直線PC與⊙C的一個交點,滿足r≤PP′≤2r,則稱P′為點P關(guān)于⊙C的限距點,如圖為點P及其關(guān)于⊙C的限距點P′的示意圖.

(1)當(dāng)⊙O的半徑為1時.
①分別判斷點M(3,4),N( ,0),T(1, )關(guān)于⊙O的限距點是否存在?若存在,求其坐標(biāo);
②點D的坐標(biāo)為(2,0),DE,DF分別切⊙O于點E,點F,點P在△DEF的邊上.若點P關(guān)于⊙O的限距點P′存在,求點P′的橫坐標(biāo)的取值范圍;
(2)保持(1)中D,E,F(xiàn)三點不變,點P在△DEF的邊上沿E→F→D→E的方向運動,⊙C的圓心C的坐標(biāo)為(1,0),半徑為r,請從下面兩個問題中任選一個作答.

問題1

問題2

若點P關(guān)于⊙C的限距點P′存在,且P′隨點P的運動所形成的路徑長為πr,則r的最小值為

若點P關(guān)于⊙C的限距點P′不存在,則r的取值范圍為

【答案】
(1)解:①點M、點T關(guān)于⊙O的限距點不存在,點N關(guān)于⊙0的限距點存在,坐標(biāo)為(1,0).

②∵點D坐標(biāo)為(2,0),⊙O半徑為1,DE、DF分別切⊙O于E、F,

∴切點坐標(biāo)為( ),( ,﹣ ),如圖所示,不妨設(shè)點E( ),點F( ,﹣ ),

EO、FO的延長線分別交⊙O于點E′、F′,則E′(﹣ ,﹣ ),F(xiàn)′(﹣ ).

設(shè)點P關(guān)于⊙O的限距點的橫坐標(biāo)為x,

①當(dāng)點P在線段EF上時,直線PO與⊙O的交點P′滿足1≤PP′≤2,故點P關(guān)于⊙O的限距點存在,其橫坐標(biāo)x滿足﹣1≤x≤﹣

②當(dāng)點P在線段DE、DF(不包括端點)上時,直線PO與⊙O的交點P′滿足0<PP′<1或2<PP′<3,故點P關(guān)于⊙O的限距點不存在.

③當(dāng)點P與點D重合時,直線PO與⊙O的交點P′(1,0),滿足PP′=1,故點P關(guān)于⊙O的限距點存在,其橫坐標(biāo)x=1.

綜上所述點P關(guān)于⊙O的限距點的橫坐標(biāo)x的范圍為﹣1≤x≤﹣ 或x=1


(2);0<r<
【解析】解:(2)問題1:如圖2中,∵△DEF是等邊三角形,點C是△DEF的外接圓的圓心,
∵若點P關(guān)于⊙C的限距點P′存在,且P′隨點P的運動所形成的路徑長為πr,
∴圖中△PP′C是等邊三角形,點P在PP′上運動時,有限距點,
∵PC∥ED,
= ,
∴PC= ,
由題意:r≤ ﹣r≤2r,
,
∴r的最小值為
問題2:如圖2中,當(dāng)點H不存在限距點時,點P就不存在限距點,
∵HC= ,
﹣r>2r,
∴r<
∴0<r< 時點P的限距點不存在.
故答案分別為 ,0<r<

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