Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)B和C在x軸上，OB=OC，AB=2BC=4．若一條拋物線的頂點(diǎn)為A，且過點(diǎn)C，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD向點(diǎn)D運(yùn)動，點(diǎn)P，Q的運(yùn)動速度均為每秒1個(gè)單位，運(yùn)動時(shí)間為t秒．過點(diǎn)P作PE⊥AB交AC于點(diǎn)E．

（1）求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式；

（2）過點(diǎn)E作EF⊥AD于F，交拋物線于點(diǎn)G，當(dāng)t為何值時(shí)，△ACG的面積S最大？最大值為多少？

（3）在動點(diǎn)P，Q運(yùn)動的過程中，是否存在點(diǎn)M，使以C，Q，E，M為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，4），y=﹣x2﹣2x+3；（2）t=2時(shí)，S的最大值為1；（3）t=20﹣8或t=．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可以寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)；由頂點(diǎn)A的坐標(biāo)可設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)式方程為y=a（x﹣1）2+4，然后將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入，即可求得系數(shù)a的值（利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式）；

（2）利用待定系數(shù)法求得直線AC的方程y=﹣2x+6；由圖形與坐標(biāo)變換可以求得點(diǎn)P的坐標(biāo)（1，4﹣t），據(jù)此可以求得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，將其代入直線AC方程可以求得點(diǎn)E或點(diǎn)G的橫坐標(biāo)；然后結(jié)合拋物線方程、圖形與坐標(biāo)變換可以求得GE=4﹣、點(diǎn)A到GE的距離為，C到GE的距離為2﹣；最后根據(jù)三角形的面積公式可以求得S△ACG=S△AEG+S△CEG=﹣（t﹣2）2+1，由二次函數(shù)的最值可以解得t=2時(shí)，S△ACG的最大值為1；

（3）因?yàn)榱庑问青忂呄嗟鹊钠叫兴倪呅�，所以點(diǎn)H在直線EF上．

解：（1）∵在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)B和C在x軸上，OB=OC，AB=2BC=4，

∴A（﹣1，4）．得C（1，0）

設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）2+4，把C（1，0）代入得：a=﹣1，

∴拋物線的解析式為y=﹣（x+1）2+4，即y=﹣x2﹣2x+3；

（2）∵A（﹣1，4），C（1，0），

∴可求直線AC的解析式為y=﹣2x+2．

∵點(diǎn)P（﹣1，4﹣t）．

∴將y=4﹣t代入y=﹣2x+2中，解得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為x=﹣1+．

∴點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為﹣1+，代入拋物線的解析式中，可求點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為4﹣．

∴GE=（4﹣）﹣（4﹣t）=t﹣．

又點(diǎn)A到GE的距離為，C到GE的距離為2﹣，

即S=S△AEG+S△CEG=EGx +xEGx（2﹣）

=x2x（t﹣）=﹣（t﹣2）2+1．

當(dāng)t=2時(shí)，S的最大值為1；

（3）第一種情況如圖1所示，點(diǎn)H在AC的上方，由四邊形CQEH是菱形知CQ=CE=t，

根據(jù)△APE∽△ABC，知=，即=，

解得t=20﹣8；

第二種情況如圖2所示，點(diǎn)H在AC的下方，由四邊形CQHE是菱形知CQ=QE=EH=HC=t，PE=t，EM=2﹣t，MQ=4﹣2t．

則在直角三角形EMQ中，根據(jù)勾股定理知EM2+MQ2=EQ2，即（2﹣t）2+（4﹣2t）2=t2，

解得，t1=，t2=4（不合題意，舍去）．

綜上所述，t=20﹣8或t=．