【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx﹣3交y軸于點(diǎn)C,直線l為拋物線的對(duì)稱軸,點(diǎn)P在第三象限且為拋物線的頂點(diǎn).P到x軸的距離為 ,到y(tǒng)軸的距離為1.點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為A,連接AC交直線l于B.

(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)直線y= x+m與拋物線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)D,與y軸交于點(diǎn)F,連接BD交y軸于點(diǎn)E,且DE:BE=4:1.求直線y= x+m的表達(dá)式;
(3)若N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn),在直線y= x+m上是否存在點(diǎn)M,使得以點(diǎn)O、F、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在,直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】
(1)

解:

∵拋物線y=ax2+bx﹣3交y軸于點(diǎn)C

∴C(0,﹣3)則 OC=3;

∵P到x軸的距離為 ,P到y(tǒng)軸的距離是1,且在第三象限,

∴P(﹣1,﹣ );

∵C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為A

∴A(﹣2,﹣3);

將點(diǎn)A(﹣2,﹣3),P(﹣1,﹣ )代入拋物線y=ax2+bx﹣3中,有:

,解得

∴拋物線的表達(dá)式為y= x2+ x﹣3


(2)

解:過點(diǎn)D做DG⊥y 軸于G,則∠DGE=∠BCE=90°

∵∠DEG=∠BEC

∴△DEG∽△BEC

∵DE:BE=4:1,

∴DG:BC=4:1;

已知BC=1,則DG=4,點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4;

將x=4代入y= x2+ x﹣3中,得y=5,則 D(4,5).

∵直線y= x+m過點(diǎn)D(4,5)

∴5= ×4+m,則 m=2;

∴所求直線的表達(dá)式y(tǒng)= x+2


(3)

解:由(2)的直線解析式知:F(0,2),OF=2;

設(shè)點(diǎn)M(x, x+2),則:OM2= x2+3x+4、FM2= x2

(Ⅰ)當(dāng)OF為菱形的對(duì)角線時(shí),點(diǎn)M在線段OF的中垂線上,則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1;

x+2=1,x=﹣ ;即點(diǎn)M的坐標(biāo)(﹣ ,1).

(Ⅱ)當(dāng)OF為菱形的邊時(shí),有:

①FM=OF=2,則: x2=4,x1= 、x2=﹣

代入y= x+2中,得:y1= 、y2= ;

即點(diǎn)M的坐標(biāo)( , )或(﹣ , );

②OM=OF=2,則: x2+3x+4=4,x1=0(舍)、x2=﹣

代入y= x+2中,得:y= ;

即點(diǎn)M的坐標(biāo)(﹣ , );

綜上,存在符合條件的點(diǎn)M,且坐標(biāo)為(﹣ ,1)、( , )、(﹣ , )、(﹣ ,


【解析】(1)已知點(diǎn)P到坐標(biāo)軸的距離以及點(diǎn)P所在的象限,先確定點(diǎn)P的坐標(biāo);而點(diǎn)A、C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱,先求出點(diǎn)A的坐標(biāo),再由點(diǎn)A、P、C以及待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式.(2)過點(diǎn)D作y軸的垂線,通過構(gòu)建的相似三角形先求出點(diǎn)D的橫坐標(biāo),代入拋物線的解析式中能確定點(diǎn)D的坐標(biāo);再由待定系數(shù)法求直線DF的解析式.(3)由(2)的結(jié)論可先求出點(diǎn)F的坐標(biāo),先設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo),則OF、OM、FM的表達(dá)式可求,若以O(shè)、F、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形,那么可分兩種情況:
①以O(shè)F為對(duì)角線,那么點(diǎn)M必為線段OF的中垂線與直線DF的交點(diǎn),此時(shí)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為點(diǎn)F縱坐標(biāo)的一半,代入直線DF的解析式后可得點(diǎn)M的坐標(biāo);
②以O(shè)F為邊,那么由OF=OM或FM=OF列出等式可求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

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(1)畫出位似中心點(diǎn)O;
(2)直接寫出△ABC與△A′B′C′的位似比;
(3)以位似中心O為坐標(biāo)原點(diǎn),以格線所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系,畫出△A′B′C′關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱的△A″B″C″,并直接寫出△A″B″C″各頂點(diǎn)的坐標(biāo).

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(1)如果P點(diǎn)在C、D之間運(yùn)動(dòng)時(shí),如圖(1)問∠PAC,APB,PBD之間有何關(guān)系,并說明理由.

(2)若點(diǎn)PC、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)(P點(diǎn)與點(diǎn)C、D不重合),在圖(2),圖(3)中畫出圖形并探索∠PAC,APB,PBD之間的關(guān)系又是如何?并選擇其中一種情況說明理由.

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A.①②
B.②③
C.②④
D.①④

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(1)請(qǐng)寫出一個(gè)六位連接數(shù)   ,它   (填“能”或“不能”)被13整除.

(2)是否任意六位連接數(shù),都能被13整除,請(qǐng)說明理由.

(3)若一個(gè)四位連接數(shù)記為M,它的各位數(shù)字之和的3倍記為N,M﹣N的結(jié)果能被13整除,這樣的四位連接數(shù)有幾個(gè)?

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