(2012•巴中)如圖,在平面直角坐標系中,點A、C分別在x軸、y軸上,四邊形ABCO為矩形,AB=16,點D與點A關于y軸對稱,tan∠ACB=
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.點E、F分別是線段AD、AC上的動點(點E不與A、D點重合),且∠CEF=∠ACB.
(1)求AC的長與點D的坐標.
(2)說明△AEF與△DCE相似.
(3)當△EFC為等腰三角形時,求點E的坐標.
分析:(1)利用矩形的性質,在Rt△ABC中,利用三角函數(shù)求出AC、BC的長度,從而得到A點坐標;由點D與點A關于y軸對稱,進而得到D點的坐標;
(2)欲證△AEF與△DCE相似,只需要證明兩個對應角相等即可.如圖①,在△AEF與△DCE中,易知∠CDE=∠CAO,∠AEF=∠DCE,從而問題解決;
(3)當△EFC為等腰三角形時,有三種情況,需要分類討論:
①當CE=EF時,此時△AEF與△DCE相似比為1,則有AE=CD;
②當EF=FC時,此時△AEF與△DCE相似比為
6
5
,則有AE=
5
6
CD;
③當CE=CF時,F(xiàn)點與A點重合,這與已知條件矛盾,故此種情況不存在.
解答:解:(1)由題意tan∠ACB=
4
3
,∴cos∠ACB=
3
5

∵四邊形ABCO為矩形,AB=16,
∴BC=
AB
tan∠ACB
=12,AC=
BC
cos∠ACB
=20,
∴A點坐標為(-12,0),
∵點D與點A關于y軸對稱,
∴D(12,0).

(2)點D與點A關于y軸對稱,∴∠CDE=∠CAO,
∵∠CEF=∠ACB,∠ACB=∠CAO,
∴∠CDE=∠CEF,
又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE(三角形外角性質)
∴∠AEF=∠DCE.
則在△AEF與△DCE中,∠CDE=∠CAO,∠AEF=∠DCE,
∴△AEF∽△DCE.

(3)當△EFC為等腰三角形時,有以下三種情況:
①當CE=EF時,
∵△AEF∽△DCE,
∴△AEF≌△DCE
∴AE=CD=20,
∴OE=AE-OA=20-12=8,
∴E(8,0);
②當EF=FC時,如圖②所示,過點F作FM⊥CE于M,則點M為CE中點,
∴CE=2ME=2EF•cos∠CEF=2EF•cos∠ACB=
6
5
EF.
∵△AEF∽△DCE,
EF
CE
=
AE
CD
,即
EF
6
5
EF
=
AE
20
,解得AE=
50
3

∴OE=AE-OA=
50
3
-12=
14
3
,
∴E(
14
3
,0);
③當CE=CF時,則有∠CFE=∠CEF,
∵∠CEF=∠ACB=∠CAO,
∴∠CFE=∠CAO,即此時E點與D點重合,這與已知條件矛盾.
綜上所述,當△EFC為等腰三角形時,點E的坐標為(8,0)或(
14
3
,0).
點評:本題綜合考查了矩形、等腰三角形、直角三角形等平面幾何圖形在坐標平面內的性質與變換,相似三角形的判定與性質應用是其核心.難點在于第(3)問,當△EFC為等腰三角形時,有三種情況,需要分類討論,注意不要漏解.
練習冊系列答案
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