【題目】已知:如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A(﹣4,0),B(1,0),與y軸正半軸交于點(diǎn)C,tan∠CAB= .
(1)求拋物線的解析式并驗(yàn)證點(diǎn)Q(﹣1,3)是否在拋物線上;
(2)點(diǎn)M是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)(不與A,C重合),過點(diǎn)M作x軸的垂線,垂足為H,交拋物線于點(diǎn)N,試判斷當(dāng)MN為最大值時(shí),以MN為直徑的圓與y軸的位置關(guān)系并說明理由;
(3)已知過點(diǎn)B的直線y=x﹣1交拋物線于另一點(diǎn)E,問:在x軸上是否存在點(diǎn)P,使以點(diǎn)P,A,Q為頂點(diǎn)的三角形與△AEB相似?若存在,請(qǐng)求出所有符合要求的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】
(1)
解:在Rt△AOC中,∠COA=90°,AO=4,tan∠CAB= ,
∴OC=2.
∴C(0,2).
設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+4)(x﹣1),將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得:﹣4a=2,解得a=﹣ ,
∴拋物線的解析式為y=﹣ ×(x2+3x﹣4),即y=﹣ x2﹣ x+2.
當(dāng)x=1時(shí),y=﹣ ×(﹣1)2﹣ ×(﹣1)+2=3.
∴點(diǎn)Q(﹣1,3)在拋物線上
(2)
解:如圖1所示:
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入得: ,
解得:k= ,b=2.
∴直線AC的解析式為y= x+2.
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m, m+2),則點(diǎn)N(m,﹣ m2﹣ m+2).
∴MN=﹣ m2﹣ m+2﹣( m+2)=﹣ (m+2)2+2.
∴當(dāng)m=﹣2時(shí),MN的最大值為2.
∴以MN為直徑的圓的半徑為1.
又∵以MN為直徑的圓的圓心到y(tǒng)軸的距離為2,
∴以MN為直徑的圓與y軸相離
(3)
解:如圖2所示:過點(diǎn)E作ED⊥x軸,垂足為D,過點(diǎn)Q作QF⊥x軸,垂足為F.
將y=x﹣1與y=﹣ x2﹣ x+2聯(lián)立,解得:x=﹣6,y=﹣7或x=1,y=0,
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣6,﹣7).
∴BD=ED=7.
又∵∠EDB=90°
∴∠EBD=45°.
同理∠QAF=45°.
∴∠EBD=∠QAF=45°.
∴∠QAD=135°,90°<∠EAB<135°.
∴點(diǎn)P只能在點(diǎn)A的右側(cè).
依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可知:EB=7 ,AQ=3 ,AB=5.
當(dāng)△QAP′∽△ABE時(shí),則 ,即 = ,解得AP′= ,
∴OP′= ﹣4= .
當(dāng),△AQP∽△BEA時(shí),則 ,即 ,解得:AP= ,
∴OP=5﹣ = .
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為:( ,0)或(﹣ ,0)
【解析】(1)依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求得OC=2,從而得到點(diǎn)C(0,2),設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+4)(x﹣1),將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入可求得a的值,從而可得到拋物線的解析式,然后依據(jù)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是否符合拋物線的解析式可知點(diǎn)Q是否在拋物線上;(2)先求得直線AC的解析式,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m, m+2),則點(diǎn)N(m,﹣ m2﹣ m+2),然后列出MN的長(zhǎng)度與m的函數(shù)的關(guān)系式,利用配方法可求得MN的最大值以及此時(shí)m的值,然后依據(jù)d和r的關(guān)系可判定出以MN為直徑的圓與y軸的位置關(guān)系;(3)過點(diǎn)E作ED⊥x軸,垂足為D,過點(diǎn)Q作QF⊥x軸,垂足為F.先求得點(diǎn)E的坐標(biāo),然后可證明△DBE和△AQF均為等腰直角三角形,故此在△BAE和△AQP中,∠QAP=∠ABE,然后依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求得EB、AQ,AB的長(zhǎng),然后分為△QAP′∽△ABE、△AQP∽△BEA兩種情況求解即可.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AD是BC邊上的高,AE、BF分別是∠BAC、∠ABC的平分線,∠BAC=50°,∠ABC=60°,則∠EAD+∠ACD=( 。
A. 75° B. 80° C. 85° D. 90°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC經(jīng)過一次平移到△DFE的位置,請(qǐng)回答下列問題:
(1)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)__________,∠D=__________,BC=__________;
(2)連接CE,那么平移的方向就是__________的方向,平移的距離就是線段__________的長(zhǎng)度;
(3)連接AD,BF,BE,與線段CE相等的線段有__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2017年3月23日,在世界杯預(yù)賽亞洲區(qū)12強(qiáng)賽A組6輪的較量中,中國(guó)足球隊(duì)以1﹣0的比分戰(zhàn)勝老對(duì)手韓國(guó)隊(duì)晉級(jí)12強(qiáng).某初中學(xué)校為了了解本校800名學(xué)生對(duì)本次比賽的關(guān)注程度,以便做好引導(dǎo)和教育工作,隨機(jī)抽取了150名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,按年級(jí)人數(shù)和關(guān)注程度,分別繪制了條形統(tǒng)計(jì)圖(圖1)和扇形統(tǒng)計(jì)圖(圖2).
(1)請(qǐng)你補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖,并求“特別關(guān)注”所在扇形的圓心角的度數(shù);
(2)求全校不關(guān)注本場(chǎng)比賽的學(xué)生大約有多少名?
(3)在這次調(diào)查中 ,九年級(jí)共有兩位男生和兩位女生“不關(guān)注”本次比賽,現(xiàn)準(zhǔn)備從四人中隨機(jī)抽取兩人進(jìn)行座談,請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖的方法求出抽取的兩人恰好是一男生和一女生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)E為矩形ABCD的邊BC的中點(diǎn),以DE為直徑的⊙O交AD于H點(diǎn),過點(diǎn)H作HF⊥AE于點(diǎn)F.
(1)求證:HF是⊙O的切線;
(2)若DH=3,AF=2,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列材料:
在學(xué)習(xí)“分式方程及其解法”過程中,老師提出一個(gè)問題:若關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù),求a的取值范圍?
經(jīng)過小組交流討論后,同學(xué)們逐漸形成了兩種意見:
小明說:解這個(gè)關(guān)于x的分式方程,得到方程的解為x=a﹣2.由題意可得a﹣2>0,所以a>2,問題解決.
小強(qiáng)說:你考慮的不全面.還必須保證a≠3才行.
老師說:小強(qiáng)所說完全正確.
請(qǐng)回答:小明考慮問題不全面,主要體現(xiàn)在哪里?請(qǐng)你簡(jiǎn)要說明: .
完成下列問題:
(1)已知關(guān)于x的方程=1的解為負(fù)數(shù),求m的取值范圍;
(2)若關(guān)于x的分式方程=﹣1無解.直接寫出n的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一組正方形按如圖所示的方式放置,其中頂點(diǎn)B1在y軸上,頂點(diǎn)C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x軸上,已知正方形A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為1,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3…,則正方形A2017B2017C2017D2017的邊長(zhǎng)是( )
A.( )2016
B.( )2017
C.( )2016
D.( )2017
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線AB、CD相交于點(diǎn)O,OE⊥OD,OE平分∠AOF.
(1)∠BOD與∠DOF相等嗎?請(qǐng)說明理由.
(2)若∠DOF=∠BOE,求∠AOD的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】直角三角形紙片 ABC 中,∠ACB=90°,AC≤BC.如圖,將紙片沿某條直線折疊,使點(diǎn) A 落在直角邊 BC 上,記落點(diǎn)為 D.設(shè)折痕與 AB、AC 邊分別交于點(diǎn) E、點(diǎn) F,當(dāng)折疊后的△CDF 與△BDE 均為等腰三角形,那么紙片中∠B 的度數(shù)是_____
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