【題目】如圖,點E為矩形ABCD的邊BC的中點,以DE為直徑的⊙O交AD于H點,過點H作HF⊥AE于點F.
(1)求證:HF是⊙O的切線;
(2)若DH=3,AF=2,求⊙O的半徑.
【答案】
(1)證明:連接OH,
∵四邊形ABCD為矩形,
∴CD=BA,∠C=∠B=90°,
∵E是BC的中點,
∴CE=BE,
∴△CDE≌△BAE(SAS),
∴ED=EA,
∴∠EDA=∠EAD,
∵OD=OH,
∴∠EDA=∠OHD,
∴∠EAD=∠OHD,
∴OH∥AE,
∵HF⊥AE,
∴HF⊥OH,
∵點H為⊙O上,OH為⊙O的半徑,
∴HF是⊙O的切線
(2)解:連接EH,
∵DE是⊙O的直徑,
∴∠DHE=90°,
∵∠C=∠B=90°,
∴四邊形HECD是矩形,
∴CE=DH,
同理:BE=AH,
∵CE=BE,
∴DH=AH=3,
∵CB∥AD,
∴∠BEA=∠EAD,
∵∠HFA=∠B=90°,
∴△FHA∽△BAE,
∴ ,
∴ ,
∴AE= ,
∴OD= DE= AE= × = ,
∴⊙O的半徑為 .
【解析】(1)連接半徑OH,證明HF⊥OH即可;(2)連接EH,證明四邊形HECD是矩形,則CE=DH,同理:BE=AH,再證明△FHA∽△BAE,列比例式為: ,求AE的長,由(1)知:DE=AE,且DE是直徑,由此可得半徑的長.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用矩形的性質(zhì)和切線的判定定理的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握矩形的四個角都是直角,矩形的對角線相等;切線的判定方法:經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AD⊥BC,EF垂直平分AC,交AC于點F,交BC于點E,且BD=DE.
⑴若∠BAE=40°,求∠C的度數(shù);
⑵若△ABC周長13cm,AC=6cm,求DC長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,以BC為直徑的圓交AC于點D,∠ABD=∠ACB.
(1)求證:AB是圓的切線;
(2)若點E是BC上一點,已知BE=4,tan∠AEB= ,AB:BC=2:3,求圓的直徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,D為BC邊的中點,過點D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E,F.
(1)求證:△BED≌△CFD;
(2)若∠A=60°,BE=1,求△ABC的周長.
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【題目】2016年12月28日舉行了微山縣南陽鎮(zhèn)北、兩城鎮(zhèn)南跨湖高速的路線開工儀式,其中的一項工程由A、B兩工程隊合作,120天可以完成;如果A,B兩工程隊單獨完成此項工程,B工程隊所用時間是A工程隊的1.5倍.
(1)求A,B兩工程隊單獨完成此項工程各需多少天?
(2)在施工過程中,該總公司派一名技術(shù)人員在現(xiàn)場對施工質(zhì)量進行全程監(jiān)督,每天總公司補助技術(shù)人員100元,若由A工程隊單獨施工,平均每天A工程隊的費用為0.5萬元,現(xiàn)總公司選擇了B工程隊單獨施工,要求總費用不能超過選擇A工程隊時的總費用,則平均每天B工程隊的費用最多為多少?
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【題目】已知:如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于兩個不同的點A(﹣4,0),B(1,0),與y軸正半軸交于點C,tan∠CAB= .
(1)求拋物線的解析式并驗證點Q(﹣1,3)是否在拋物線上;
(2)點M是線段AC上一動點(不與A,C重合),過點M作x軸的垂線,垂足為H,交拋物線于點N,試判斷當MN為最大值時,以MN為直徑的圓與y軸的位置關(guān)系并說明理由;
(3)已知過點B的直線y=x﹣1交拋物線于另一點E,問:在x軸上是否存在點P,使以點P,A,Q為頂點的三角形與△AEB相似?若存在,請求出所有符合要求的點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,反比例函數(shù)y= 的圖象經(jīng)過二次函數(shù)y=ax2+bx圖象的頂點(﹣ ,m)(m>0),則有( )
A.a=b+2k
B.a=b﹣2k
C.k<b<0
D.a<k<0
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,直線y= x與反比例函數(shù)y= 在第一象限內(nèi)的圖象相交于點A(m,3).
(1)求該反比例函數(shù)的關(guān)系式;
(2)將直線y= x沿y軸向上平移8個單位后與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象相交于點B,連接AB,這時恰好AB⊥OA,求tan∠AOB的值;
(3)在(2)的條件下,在射線OA上存在一點P,使△PAB∽△BAO,求點P的坐標.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
國際比賽的足球場長在100m到110m之間,寬在64m到75m之間,為了迎接2015年的亞洲杯,某地建設(shè)了一個長方形的足球場,其長是寬的1.5倍,面積是7560m2.請你判斷這個足球場能用于國際比賽嗎?并說明理由.
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