Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AD和過點C的切線互相垂直，垂足為D，直線DC與AB的延長線相交于點P．

（1）求證：AC2＝ADAB．

（2）點E是∠ACB所對的弧上的一個動點（不包括A，B兩點），連接EC交直徑AB于點F，∠DAP＝64°．

①當∠ECB＝　 　°時，△PCF為等腰三角形；

②當∠ECB＝　 　°時，四邊形ACBE為矩形．

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）①45；②58．

【解析】

（1）先判斷出∠ACD＝∠ABC，再利用直徑所對的圓周角等于90度和垂直的定義判斷出∠ADC＝∠ACB，進而判斷出△ADC∽△ACB，即可得出結論；

（2）①先求出∠CAD＝32°，判斷出∠CAP＞∠P，進而判斷出CF≠CP，再求出∠BCP＝32°＞∠P，得出BP＞BC，進而判斷出CF≠PF，最后用等腰三角形的性質即可得出結論；

②先判斷出CE過點O，進而求出∠ACE，即可得出結論．

解：（1）∵CD是⊙O的切線，

∴∠ACD＝∠ABC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵AD⊥CD，

∴∠ADC＝90°＝∠ACB，

∴△ADC∽△ACB，

∴，

∴AC2＝ABAD；

（2）①由（1）知，∠ACD＝∠ABC，

∵∠ACD+∠CAD＝90°，∠ABC+∠BAC＝90°，

∴∠CAD＝∠BAC＝∠DAP＝32°，

∵∠P＝90°﹣∠DAP＝26°，

∴∠CAP＞∠P，

∴CP＞AC，

∵點F在直徑AB上（且不和點A，B重合），

∴CF≠CP，

∵∠CAD＝32°，

∴∠ACD＝90°﹣∠CAD＝58°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠BCP＝180°﹣∠ACD﹣∠ACB＝32°＞∠P

∴BP＞BC，

∵點F在直徑AB上（且不和點A，B重合），

∴CF≠PF，

∵△PCF是等腰三角形，

∴PC＝PF，

∴∠PCF＝（180°﹣∠P）＝77°，

∴∠BCE＝∠PCF﹣∠BCP＝45°，

故答案為：45；

②如圖，

∵四邊形ACBE是矩形，

∴AB與CE互相平分，

∵點O是AB的中點，

∴點F和點O重合，

∴∠ACE＝∠CAB＝32°，

∴∠BCE＝90°﹣∠ACE＝58°，

故答案為：58．