Question

【題目】如圖1，△AOB的三個(gè)頂點(diǎn)A、O、B分別落在拋物線(xiàn)F1：的圖象上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣4，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為﹣2.(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))

(1)求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

(2)將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'OB'，拋物線(xiàn)F2：經(jīng)過(guò)A'、B'兩點(diǎn)，已知點(diǎn)M為拋物線(xiàn)F2的對(duì)稱(chēng)軸上一定點(diǎn)，且點(diǎn)A'恰好在以OM為直徑的圓上，連接OM、A'M，求△OA'M的面積；

(3)如圖2，延長(zhǎng)OB'交拋物線(xiàn)F2于點(diǎn)C，連接A'C，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)D，使得以A、O、D為頂點(diǎn)的三角形與△OA'C相似.若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1)點(diǎn)A坐標(biāo)為(﹣4，﹣4)，點(diǎn)B坐標(biāo)為(﹣1，﹣2)；(2)S△OA'M＝8；(3)點(diǎn)D坐標(biāo)為(4，0)、(8，0)、(0，4)或(0，8)時(shí)，以A、O、D為頂點(diǎn)的三角形與△OA'C相似.

【解析】

(1)把x＝﹣4代入解析式，求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，把y=-2代入解析式，根據(jù)點(diǎn)B與點(diǎn)A的位置關(guān)系即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B'作B'G⊥x軸于點(diǎn)G，先求出點(diǎn)A'、B'的坐標(biāo)，OA＝OA'＝，然后利用待定系數(shù)法求得拋物線(xiàn)F2解析式為：，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)：，設(shè)M(6，m)，表示出OM2，A'M2，進(jìn)而根據(jù)OA'2+A'M2＝OM2，得到(4)2+m2+8m+20＝36+m2，求得m＝﹣2，繼而求得A'M＝，再根據(jù)S△OA'M＝OA'A'M通過(guò)計(jì)算即可得；

(3)在坐標(biāo)軸上存在點(diǎn)D，使得以A、O、D為頂點(diǎn)的三角形與△OA'C相似，先求得直線(xiàn)OA與x軸夾角為45°，再分點(diǎn)D在x軸負(fù)半軸或y軸負(fù)半軸時(shí)，∠AOD＝45°，此時(shí)△AOD不可能與△OA'C相似，點(diǎn)D在x軸正半軸或y軸正半軸時(shí)，∠AOD＝∠OA'C＝135°(如圖2、圖3)，此時(shí)再分△AOD∽△OA'C，△DOA∽△OA'C兩種情況分別討論即可得.

(1)當(dāng)x＝﹣4時(shí)，，

∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(﹣4，﹣4)，

當(dāng)y＝﹣2時(shí)，，

解得：x1＝﹣1，x2＝﹣6，

∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，

∴點(diǎn)B坐標(biāo)為(﹣1，﹣2)；

(2)如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B'作B'G⊥x軸于點(diǎn)G，

∴∠BEO＝∠OGB'＝90°，OE＝1，BE＝2，

∵將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'OB'，

∴OB＝OB'，∠BOB'＝90°，

∴∠BOE+∠B'OG＝∠BOE+∠OBE＝90°，

∴∠B'OG＝∠OBE，

在△B'OG與△OBE中

，

∴△B'OG≌△OBE(AAS)，

∴OG＝BE＝2，B'G＝OE＝1，

∵點(diǎn)B'在第四象限，

∴B'(2，﹣1)，

同理可求得：A'(4，﹣4)，

∴OA＝OA'＝，

∵拋物線(xiàn)F2：y＝ax2+bx+4經(jīng)過(guò)點(diǎn)A'、B'，

∴，

解得：，

∴拋物線(xiàn)F2解析式為：，

∴對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)：，

∵點(diǎn)M在直線(xiàn)x＝6上，設(shè)M(6，m)，

∴OM2＝62+m2，A'M2＝(6﹣4)2+(m+4)2＝m2+8m+20，

∵點(diǎn)A'在以OM為直徑的圓上，

∴∠OA'M＝90°，

∴OA'2+A'M2＝OM2，

∴(4)2+m2+8m+20＝36+m2，

解得：m＝﹣2，

∴A'M＝，

∴S△OA'M＝OA'A'M＝；

(3)在坐標(biāo)軸上存在點(diǎn)D，使得以A、O、D為頂點(diǎn)的三角形與△OA'C相似，

∵B'(2，﹣1)，

∴直線(xiàn)OB'解析式為y＝﹣x，

，

解得：(即為點(diǎn)B')，，

∴C(8，﹣4)，

∵A'(4，﹣4)，

∴A'C∥x軸，A'C＝4，

∴∠OA'C＝135°，

∴∠A'OC＜45°，∠A'CO＜45°，

∵A(﹣4，﹣4)，即直線(xiàn)OA與x軸夾角為45°，

∴當(dāng)點(diǎn)D在x軸負(fù)半軸或y軸負(fù)半軸時(shí)，∠AOD＝45°，此時(shí)△AOD不可能與△OA'C相似，

∴點(diǎn)D在x軸正半軸或y軸正半軸時(shí)，∠AOD＝∠OA'C＝135°(如圖2、圖3)，

①若△AOD∽△OA'C，

則，

∴OD＝A'C＝4，

∴D(4，0)或(0，4)；

②若△DOA∽△OA'C，

則，

∴OD＝OA'＝8，

∴D(8，0)或(0，8)，

綜上所述，點(diǎn)D坐標(biāo)為(4，0)、(8，0)、(0，4)或(0，8)時(shí)，以A、O、D為頂點(diǎn)的三角形與△OA'C相似.