Question

【題目】如圖，△AOB和△COD均為等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，點(diǎn)C、D分別在邊OA、OB上的點(diǎn)．連接AD，BC，點(diǎn)H為BC中點(diǎn)，連接OH．

（1）如圖1，求證：OH＝AD，OH⊥AD；

（2）將△COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖2所示位置時(shí)，⑴中結(jié)論是否仍成立？若成立，證明你的結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）成立，證明見解析

【解析】

（1）只要證明△AOD≌△BOC（SAS），即可解決問題；

（2）如圖2中，結(jié)論：OH=AD，OH⊥AD．延長(zhǎng)OH到E，使得HE=OH，連接BE，證明△BEH≌△CHO（SAS），可得OE=2OH，∠EBC=∠BCO，證明△BEO≌△ODA（SAS）即可解決問題；

（1）∵△OAB與△OCD為等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．

∴OC＝OD，OA＝OB

在△AOD與△BOC中

∴△AOD≌△BOC（SAS）

∴∠ADO＝∠BCO，∠OAD＝∠OBC，BC＝AD

∵點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，∠AOB＝90°

∴OH＝HB＝

∴∠OBH＝∠HOB＝∠OAD，OH＝

∵∠OAD＋∠ADO＝90°

∴∠ADO＋∠BOH＝90°

∴OH⊥AD

（2）（1）中結(jié)論成立；如圖，延長(zhǎng)OH到E，使得HE＝OH，連接BE，CE

∵CH＝BH

∴四邊形BOCE是平行四邊形

∴BE＝OC，EB∥OC，OH＝OE

∴∠EBO＋∠COB＝180°

∵∠COB＋∠BOD＝90°，∠BOD＋∠1＝90°

∴∠1＝∠COB

∵∠AOD＋∠1＝180°

∴∠AOD＝∠EBO

∴△BEO≌△ODA

∴∠EOB＝∠DAO，OE＝AD

∴OH＝AD

∴∠DAO＋∠AOH＝∠EOB＋∠AOH＝90°

∴OH⊥AD

【點(diǎn)晴】

本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系等知識(shí)，構(gòu)造全等三角形解決問題是解題的關(guān)鍵.