【題目】(問題情境)
如圖,在正方形ABCD中,點E是線段BG上的動點,AE⊥EF,EF交正方形外角∠DCG的平分線CF于點F.
(探究展示)
(1)如圖1,若點E是BC的中點,證明:∠BAE+∠EFC=∠DCF.
(2)如圖2,若點E是BC的上的任意一點(B、C除外),∠BAE+∠EFC=∠DCF是否仍然成立?若成立,請予以證明;若不成立,請說明理由.
(拓展延伸)
(3)如圖3,若點E是BC延長線(C除外)上的任意一點,求證:AE=EF.
【答案】(1)證明見解析;(2)成立;證明見解析;(3)證明見解析.
【解析】
(1)取AB的中點M,連結(jié)EM,根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定證明即可;
(2)在AB上取一點M,使AM=CE,連接ME,根據(jù)已知條件利用ASA判定,利用全等三角形的性質(zhì)證明即可.
(3)在BA的延長線上取一點M,使AM=CE,連接ME,根據(jù)已知利用ASA判定,利用全等三角形的性質(zhì)證明即可.
(1)證明:取AB的中點M,連結(jié)EM,如圖1:
∵M是AB的中點,E是BC的中點,
∴在正方形ABCD中,AM=EC,
∵CF是∠DCG的平分線,
∴∠BCF=135°,
∴∠AME=∠ECF=135°,
∵∠MAE=∠CEF=45°,
在△AME與△ECF中,
,
∴△AME≌△ECF(SAS),
∴∠BAE+∠EFC=∠FCG=∠DCF;
(2)證明:取AB上的任意一點使得AM=EC,連結(jié)EM,如圖2:
∵AE⊥EF,AB⊥BC,
∴∠BAE+∠BEA=90°,∠BEA+∠CEF=90°,
∴∠MAE=∠CEF,
∵AM=EC,
∴在正方形ABCD中,BM=BE,
∴∠AME=∠ECF=135°,
在△AME與△ECF中,
,
∴△AME≌△ECF(SAS),
∴∠BAE+∠EFC=∠FCG=∠DCF;
(3)證明:取AB延長線上的一點M使得AM=CE,如圖3:
∵AM=CE,AB⊥BC,
∴∠AME=45°,
∴∠ECF=AME=45°,
∵AD∥BE,
∴∠DAE=∠BEA,
∵MA⊥AD,AE⊥EF,
∴∠MAE=∠CEF,
在△AME與△ECF中,
,
∴△AME≌△ECF(SAS),
∴AE=EF.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,,,點在軸上,且.
(1)求點的坐標,并畫出;
(2)求的面積;
(3)在軸上是否存在點,使以三點為頂點的三角形的面積為10?若存在,請直接寫出點的坐標;若不存在,請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平行四邊形ABCD中,AE平分∠BAD交邊于點E,DF平分∠ADC交邊于點F,若AD12,EF5,則AB___________.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖①,、分別平分四邊形的外角和,設(shè),.
(1)若,則 ;
(2)若與相交于點,且,求、所滿足的等量關(guān)系式,并說明理由;
(3)如圖②,若,試判斷、的位置關(guān)系,并說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=30°,∠ACB=45°,BD∥AC,BD=AB,且C,D兩點位于AB所在直線兩側(cè),射線AD上的點E滿足∠ABE=60°.
(1)∠AEB=___________°;
(2)圖中與AC相等的線段是_____________,證明此結(jié)論只需證明△________≌△_______.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,在等腰直角三角形中,,點在邊上,連接,連接
(1)求證:
(2)點關(guān)于直線的對稱點為,連接
①補全圖形并證明
②利用備用圖進行畫圖、試驗、探究,找出當三點恰好共線時點的位置,請直接寫出此時的度數(shù),并畫出相應(yīng)的圖形
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】關(guān)于x的方程,
(1)a為何值時,方程的一根為0?
(2)a為何值時,兩根互為相反數(shù)?
(3)試證明:無論a取何值,方程的兩根不可能互為倒數(shù).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,平面直角坐標系xoy中A(﹣4,6),B(﹣1,2),C(﹣4,1).
(1)作出△ABC關(guān)于直線x=1對稱的圖形△A1B1C1并寫出△A1B1C1各頂點的坐標;
(2)將△A1B1C1向左平移2個單位,作出平移后的△A2B2C2,并寫出△A2B2C2各頂點的坐標;
(3)觀察△ABC和△A2B2C2,它們是否關(guān)于某直線對稱?若是,請指出對稱軸,并求△ABC的面積.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】點是軸正半軸的一個動點,過點作軸的垂線交雙曲線于點,連接.
如圖甲,當點在軸的正方向上運動時,的面積大小是否變化?若不變,請求出的面積;若改變,試說明理由;
如圖乙,在軸上的點的右側(cè)有一點,過點作軸的垂線交雙曲線于點,連接交于點,設(shè)的面積是,梯形的面積為,寫出與的大小關(guān)系(用 “”、“”、“”表示);
如圖丙,的延長線與雙曲線的另一個交點為,垂直于軸,垂足為點,連接,,試證明四邊形的面積為一個常數(shù).
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com