【題目】如圖,拋物線y=ax2﹣2ax+m的圖象經(jīng)過點P(4,5),與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左邊),與y軸交于點C,且S△PAB=10.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線上是否存在點Q使得△PAQ和△PBQ的面積相等?若存在,求出Q點的坐標(biāo),若不存在,請說明理由;
(3)過A、P、C三點的圓與拋物線交于另一點D,求出D點坐標(biāo)及四邊形PACD的周長.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)點Q的坐標(biāo)為:(﹣2,5)或(﹣,﹣);(3)6+4.
【解析】
(1)因為拋物線y=ax2﹣2ax+m,函數(shù)的對稱軸為:x=1,S△PAB=10=×AB×yP=AB×5,解得AB=4,即可求解;(2)分A、B在點Q(Q′)的同側(cè);點A、B在點Q的兩側(cè)兩種情況,分別求解即可;(3)過點P作PO′⊥x軸于點O′,則點O′(4,0),則AO′=PO′=5,而CO′=5,故圓O′是過A、P、C三點的圓,即可求解.
解:
(1)y=ax2﹣2ax+m,函數(shù)的對稱軸為:x=1,
S△PAB=10=×AB×yP=AB×5,解得:AB=4,
故點A、B的坐標(biāo)分別為:(﹣1,0)、(3,0),
拋物線的表達(dá)式為:y=a(x+1)(x﹣3),
將點P的坐標(biāo)代入上式并解得:a=1,
故拋物線的表達(dá)式為:y=x2﹣2x﹣3…①;
(2)①當(dāng)A、B在點Q(Q′)的同側(cè)時,如圖1,
△PAQ′和△PBQ′的面積相等,則點P、Q′關(guān)于對稱軸對稱,
故點Q′(﹣2,5);
②當(dāng)A、B在點Q的兩側(cè)時,如圖1,
設(shè)PQ交x軸于點E,分別過點A、B作PQ的垂線交于點M、N,
△PAQ和△PBQ的面積相等,則AM=BN,
而∠BEN=∠AEM,∠AME=∠BNE=90°,
∴△AME≌△BNE(AAS),
∴AE=BE,
即點E是AB的中點,則點E(1,0),
將點P、E的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得:
直線PQ的表達(dá)式為:y=x﹣…②,
聯(lián)立①②并解得:x=﹣或4(舍去4),
故點Q(﹣,﹣),
綜上,點Q的坐標(biāo)為:(﹣2,5)或(﹣,﹣);
(3)過點P作PO′⊥x軸于點O′,則點O′(4,0),則AO′=PO′=5,而CO′=5,
故圓O′是過A、P、C三點的圓,
設(shè)點D(m,m2﹣2m﹣3),點O′(4,0),則DO′=5,
即(m﹣4)2+(m2﹣2m﹣3)2=25,
化簡得:m(m+1)(m﹣1)(m﹣4)=0,
解得:m=0或﹣1或1或4(舍去0,﹣1,4),
故:m=1,
故點D(1,﹣4);
四邊形PACD的周長=PA+AC+CD+PD=.
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【題目】“馬航事件”的發(fā)生引起了我國政府的高度重視,我國政府迅速派出了艦船和飛機到相關(guān)海域進(jìn)行搜尋.如圖,在一次空中搜尋中,水平飛行的飛機在點A處測得前方海面的點F處有疑似飛機殘骸的物體(該物體視為靜止),此時的俯角為30°.為了便于觀察,飛機繼續(xù)向前飛行了800m到達(dá)B點,此時測得點F的俯角為45°.請你計算當(dāng)飛機飛臨F點的正上方點C時(點A,B,C在同一直線上),豎直高度CF約為多少米?(結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù):≈1.7)
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【題目】在△ABC中,∠ACB=45°.點D(與點B、C不重合)為射線BC上一動點,連接AD,以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.
(1)如果AB=AC.如圖①,且點D在線段BC上運動.試判斷線段CF與BD之間的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
(2)如果AB≠AC,如圖②,且點D在線段BC上運動.(1)中結(jié)論是否成立,為什么?
(3)若正方形ADEF的邊DE所在直線與線段CF所在直線相交于點P,設(shè)AC=4,BC=3,CD=x,求線段CP的長.(用含x的式子表示)
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【題目】如圖,點P是菱形ABCD的對角線BD上一點,連接CP并延長,交AD于點E,交BA的延長線于點F.
(1)求證:△APD≌△CPD;
(2)求證:△APE∽△FPA;
(3)若PE=2,EF=6,求PC的長.
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【題目】在△ABC中,AB=5,AC=8,BC=7,點D是BC上一動點,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,線段EF的最小值為_____.
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【題目】在水果銷售旺季,某水果店購進(jìn)一優(yōu)質(zhì)水果,進(jìn)價為20元/千克,售價不低于20元/千克,且不超過32元/千克,根據(jù)銷售情況,發(fā)現(xiàn)該水果一天的銷售量y(千克)與該天的售價x(元/千克)滿足如下表所示的一次函數(shù)關(guān)系.
銷售量y(千克) | … | 34.8 | 32 | 29.6 | 28 | … |
售價x(元/千克) | … | 22.6 | 24 | 25.2 | 26 | … |
(1)某天這種水果的售價為23.5元/千克,求當(dāng)天該水果的銷售量.
(2)如果某天銷售這種水果獲利150元,那么該天水果的售價為多少元?
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,tan∠ACB=2,D在△ABC內(nèi)部,且AD=CD,∠ADC=90°,連接BD,若△BCD的面積為10,則AD的長為_____.
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【題目】某校舉辦園博會知識競賽,打算購買A、B兩種獎品.如果購買A獎品10件、B獎品5件,共需120元;如果購買A獎品5件、B獎品10件,共需90元.
(1)A,B兩種獎品每件各多少元?
(2)若購買A、B獎品共100件,總費用不超過600元,則A獎品最多購買多少件?
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線l1:y=﹣x+1與x軸,y軸分別交于點A和點B,直線l2:y=kx(k≠0)與直線l1在第一象限交于點C.若∠BOC=∠BCO,則k的值為( 。
A. B. C. D. 2
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