Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A（0，8）、B（8，0）和點(diǎn)E，動(dòng)點(diǎn)C從原點(diǎn)O開始沿OA方向以每秒1個(gè)單位長度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)B開始沿BO方向以每秒1個(gè)單位長度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)C、D同時(shí)出發(fā)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D到達(dá)原點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)C、D停止運(yùn)動(dòng)．

（1）直接寫出拋物線的解析式： ；

（2）求△CED的面積S與D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)解析式；當(dāng)t為何值時(shí)，△CED的面積最大？最大面積是多少？

（3）當(dāng)△CED的面積最大時(shí)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P（點(diǎn)E除外），使△PCD的面積等于△CED的最大面積？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+3x+8；（2）當(dāng)t=5時(shí)，S最大=；（3）當(dāng)△CED的面積最大時(shí)，在拋物線上存在點(diǎn)P（點(diǎn)E除外），使△PCD的面積等于△CED的最大面積，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P（，﹣）或P（8，0）或P（，）．

【解析】

試題分析：（1）將點(diǎn)A（0，8）、B（8，0）代入拋物線y=﹣x2+bx+c即可求出拋物線的解析式為：y=﹣x2+3x+8；

（2）根據(jù)題意得：當(dāng)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，BD=t，OC=t，然后由點(diǎn)A（0，8）、B（8，0），可得OA=8，OB=8，從而可得OD=8﹣t，然后令y=0，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣2，0），進(jìn)而可得OE=2，DE=2+8﹣t=10﹣t，然后利用三角形的面積公式即可求△CED的面積S與D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)解析式為：S=﹣t2+5t，然后轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式即可求出最值為：S最大=；

（3）由（2）知：當(dāng)t=5時(shí)，S最大=，進(jìn)而可知：當(dāng)t=5時(shí)，OC=5，OD=3，進(jìn)而可得CD=，從而確定C（0，5），D（3，0）然后根據(jù)待定系數(shù)法求出直線CD的解析式為：y=﹣x+5，然后過E點(diǎn)作EF∥CD，交拋物線與點(diǎn)P，然后求出直線EF的解析式，與拋物線聯(lián)立方程組解得即可得到其中的一個(gè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后利用面積法求出點(diǎn)E到CD的距離為：，然后過點(diǎn)D作DN⊥CD，垂足為N，且使DN=，然后求出N的坐標(biāo)，然后過點(diǎn)N作NH∥CD，與拋物線交與點(diǎn)P，然后求出直線NH的解析式，與拋物線聯(lián)立方程組求解即可得到其中的另兩個(gè)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：（1）將點(diǎn)A（0，8）、B（8，0）代入拋物線y=﹣x2+bx+c得：，

解得：b=3，c=8，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+3x+8，

故答案為：y=﹣x2+3x+8；

（2）∵點(diǎn)A（0，8）、B（8，0），

∴OA=8，OB=8，

令y=0，得：﹣x2+3x+8=0，

解得：x18，x2=2，

∵點(diǎn)E在x軸的負(fù)半軸上，

∴點(diǎn)E（﹣2，0），

∴OE=2，

根據(jù)題意得：當(dāng)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，BD=t，OC=t，

∴OD=8﹣t，

∴DE=OE+OD=10﹣t，

∴S=DEOC=（10﹣t）t=﹣t2+5t，

即S=﹣t2+5t=﹣（t﹣5）2+，

∴當(dāng)t=5時(shí)，S最大=；

（3）由（2）知：當(dāng)t=5時(shí)，S最大=，

∴當(dāng)t=5時(shí)，OC=5，OD=3，

∴C（0，5），D（3，0），

由勾股定理得：CD=，

設(shè)直線CD的解析式為：y=kx+b，

將C（0，5），D（3，0），代入上式得：

k=﹣，b=5，

∴直線CD的解析式為：y=﹣x+5，

過E點(diǎn)作EF∥CD，交拋物線與點(diǎn)P，如圖1，

設(shè)直線EF的解析式為：y=﹣x+b，

將E（﹣2，0）代入得：b=﹣，

∴直線EF的解析式為：y=﹣x﹣，

將y=﹣x﹣，與y=﹣x2+3x+8聯(lián)立成方程組得：

，

解得：，，

∴P（，﹣）；

過點(diǎn)E作EG⊥CD，垂足為G，

∵當(dāng)t=5時(shí)，S△ECD==，

∴EG=，

過點(diǎn)D作DN⊥CD，垂足為N，且使DN=，過點(diǎn)N作NM⊥x軸，垂足為M，如圖2，

可得△EGD∽△DMN，

∴，

即：，

解得：DM=，

∴OM=，

由勾股定理得：MN==，

∴N（，），

過點(diǎn)N作NH∥CD，與拋物線交與點(diǎn)P，如圖2，

設(shè)直線NH的解析式為：y=﹣x+b，

將N（，），代入上式得：b=，

∴直線NH的解析式為：y=﹣x+，

將y=﹣x+，與y=﹣x2+3x+8聯(lián)立成方程組得：

，

解得：，，

∴P（8，0）或P（，），

綜上所述：當(dāng)△CED的面積最大時(shí)，在拋物線上存在點(diǎn)P（點(diǎn)E除外），使△PCD的面積等于△CED的最大面積，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P（，﹣）或P（8，0）或P（，）．