Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到的，連接BE、CF相交于點(diǎn)D．

（1）求證：BE=CF；
（2）當(dāng)四邊形ABDF為菱形時(shí)，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△AEF是由△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到的，

∴AE=AF=AB=AC=2，∠EAF=∠BAC=45°，

∴∠BAC+∠3=∠EAF+∠3，即∠BAE=∠CAF，

在△ABE和△ACF中

，

∴△ABE≌△ACF，

∴BE=CF

（2）解：∵四邊形ABDF為菱形，

∴DF=AF=2，DF∥AB，

∴∠1=∠BAC=45°，

∴△ACF為等腰直角三角形，

∴CF= AF=2 ，

∴CD=CF﹣DF=2 ﹣2．

【解析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AE=AF=AB=AC=2，∠EAF=∠BAC=45°，然后根據(jù)“SAS”證明△ABE≌△ACF，于是根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得DF=AF=2，DF∥AB，再利用平行線的性質(zhì)得∠1=∠BAC=45°，則可判斷△ACF為等腰直角三角形，所以CF= AF=2 ，然后計(jì)算CF﹣DF即可．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用菱形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的積的一半；①旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的線段長(zhǎng)短不變，旋轉(zhuǎn)角度大小不變；②旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變；③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變，只是位置變了即可以解答此題．