Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（0，4）和點(diǎn)B（3，0），以線段AB為邊在第一象限內(nèi)作等腰直角△ABC，使∠BAC＝90°．

（1）求一次函數(shù)的解析式；

（2）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PB+PC最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+4；（2）（4，7）；（3）P（0，3）

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式即可；

（2）作CD⊥y軸于點(diǎn)D，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAD，由全等三角形的性質(zhì)可知OA=CD，故可得出C點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）求得B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B′的坐標(biāo)，連接B′C與y軸的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)，由B′、C坐標(biāo)可求得直線B′C的解析式，則可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解：（1）設(shè)AB直線的解析式為：y＝kx+b，

把（0，4）（3，0）代入可得：，

解得：，

∴一次函數(shù)的解析式為：y＝﹣x+4；

（2）如圖，作CD⊥y軸于點(diǎn)D．

∵∠BAC＝90°，

∴∠OAB+∠CAD＝90°，

又∵∠CAD+∠ACD＝90°，

∴∠ACD＝∠BAO．

在△ABO與△CAD中，

∵，

∴△ABO≌△CAD（AAS），

∴OB＝AD＝3，OA＝CD＝4，OD＝OA+AD＝7．

∴C的坐標(biāo)是（4，7）．

（3）如圖，作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接CB′交y軸于P，此時(shí)PB+PC的值最�。�

∵B（3，0），C（4，7）

∴B′（﹣3，0），

設(shè)直線CB′的解析式為y＝mx+n，

把（﹣3，0）（4，7）代入y＝mx+n中，

可得：，

解得：，

∴直線CB′的解析式為y＝x+3，

令x＝0，得到y＝3，

∴P（0，3）．