【題目】四邊形ABCD中,點(diǎn)E在邊AB上,連結(jié)DE,CE.
(1)若∠A=∠B=∠DEC=50°,找出圖中的相似三角形,并說(shuō)明理由;
(2)若四邊形ABCD為矩形,AB=5,BC=2,且圖中的三個(gè)三角形都相似,求AE的長(zhǎng).
(3)若∠A=∠B=90°,AD<BC,圖中的三個(gè)三角形都相似,請(qǐng)判斷AE和BE的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由.
【答案】(1)△DAE∽△EBC,理由見(jiàn)解析;(2)AE=1或4;(3)AE=BE或BE=2AE,理由見(jiàn)解析.
【解析】
(1)三角形內(nèi)角和為180°,所以∠ADE+∠DEA=180°﹣∠A=130°,又因?yàn)椤?/span>DEA+∠CEB=180°﹣∠DEC=130°,所以∠ADE=∠CEB,已知∠A=∠B,所以△DAE∽△EBC;
(2)設(shè)AE=x,則BE=5﹣x,不難證明△DAE∽△EBC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程求出x即可;(3)分兩類進(jìn)行討論:①∠A=∠B=∠DEC=90°,②∠DEC≠90°,結(jié)合相似三角形的性質(zhì)分別求出AE和BE的數(shù)量關(guān)系.
(1)△DAE∽△EBC,
理由:∵∠A=∠DEC=50°,
∴∠ADE+∠DEA=180°﹣∠A=130°,∠DEA+∠CEB=180°﹣∠DEC=130°,
∴∠ADE=∠CEB,
∵∠A=∠B,
∴△DAE∽△EBC;
(2)
設(shè)AE=x,則BE=5﹣x,
∵矩形ABCD,
∴∠A=∠B=∠ADC=∠BCD=90°,
∵圖中三個(gè)三角形都相似,
∴△DEC為直角三角形,
∵∠EDC<90°,∠ECD<90°,
∴∠DEC=90°,
∴∠ADE+∠AED=90°,
∵AED+∠CEB=90°,
∴∠AED=∠ECB,
∴△DAE∽△EBC,
∴=,即=,
解得:x=1或4,
即AE=1或4;
(3)AE=BE或BE=2AE,
理由:①
當(dāng)∠A=∠B=∠DEC=90°時(shí),∠DCE≠∠CEB,可得∠DCE=∠BCE,
所以△DEC∽△DAE∽△EBC,
∴=,==,
∴=,即BE=AE;
②當(dāng)∠DEC≠90°時(shí),
如圖,∵AD<BC,
∴∠CDE=90°,
∵∠DCE≠∠CEB,
∴∠DCE=∠ECB,∠DEC=∠CEB,
∴DE=BE,
∵∠ADE≠∠DEC,
∴∠ADE=∠DCE,∠AED=∠DEC,
∴∠AED=∠DEC=∠CEB=60°,
∴==cos60°=,
∴BE=2AE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),正比例函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,m).
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)點(diǎn)B在軸的上,且OA=BA,反比例函數(shù)圖像上有一點(diǎn)C,且∠ABC=90°,求點(diǎn)C坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,是直徑,半徑,點(diǎn)在上,且點(diǎn)與點(diǎn)在直徑的兩側(cè),連結(jié),.若,則的度數(shù)是________.
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【題目】閱讀下面材料,完成(1)-(3)題
數(shù)學(xué)課上,老師出示了這樣一道題:如圖,△ABD和△ACE中,AB=AD,AC=AE,∠DAB=∠CAE=α,連接DC、BE交于點(diǎn)F,過(guò)A作AG⊥DC于點(diǎn)G,探究線段FG、FE、FC之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.
同學(xué)們經(jīng)過(guò)思考后,交流了自已的想法:
小明:“通過(guò)觀察和度量,發(fā)現(xiàn)線段BE與線段DC相等.”
小偉:“通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn),∠AFE與α存在某種數(shù)量關(guān)系.”
老師:“通過(guò)構(gòu)造全等三角形,從而可以探究出線段FG、FE、FC之間的數(shù)量關(guān)系.”
(1)求證:BE=CD;
(2)求∠AFE的度數(shù)(用含α的式子表示);
(3)探究線段FG、FE、FC之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=120°,M是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)F是線段BM上的動(dòng)點(diǎn),則ME+EF的最小值等于___.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象相交于點(diǎn)A(m,3)、B(﹣6,n),與x軸交于點(diǎn)C.
(1)求一次函數(shù)y=kx+b的關(guān)系式;
(2)結(jié)合圖象,直接寫出滿足kx+b>的x的取值范圍;
(3)若點(diǎn)P在x軸上,且S△ACP=S△BOC,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖, AB∥CD, AC∥BD, AD與BC交于O, AE⊥BC于E, DF⊥BC于F, 那么圖中全等的三角形有 ( )
A.5對(duì)B.6對(duì)C.7對(duì)D.8對(duì)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,E是AD的中點(diǎn),將△ABE沿BE折疊 得到△GBE,且點(diǎn)G在矩形ABCD內(nèi)部.將BG延長(zhǎng)交DC 于點(diǎn)F,若DC=nDF,則 =______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)(1,3)在函數(shù)的圖象上,正方形的邊在軸上,點(diǎn)是對(duì)角線的中點(diǎn),函數(shù)的圖象又經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn),則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為__________.
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