Question

如圖，在平面直角坐標系中，M為x軸正半軸上的一點，⊙M與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C、D兩點，若A（-1，0），C點的坐標為(0，

3

)．

（1）求M點的坐標；
（2）如圖，P為

BC

上的一個動點，CQ平分∠PCD．當P點運動時，線段AQ的長度是否改變？若不變，請求其值；若改變，請求出其變化范圍；

（3）如圖，以A為圓心AC為半徑作⊙A，P為⊙A上不同于C、D的一個動點，直線PC交⊙M于點Q，K為PQ的中點，當P點運動時，現(xiàn)給出兩個結(jié)論：①

CK

PQ

的值不變；②線段OK的長度不變．其中有且只有一個結(jié)論正確，選擇正確的結(jié)論證明并求其值．

Answer 1

（1）連接MC，設⊙M的半徑為R
∵A（-1，0），C（0，

3

），OC²+OM²=MC²
∴(

3

)2+(R-1)2=R2
解得R=2．
∴M點的坐標為（1，0）．

（2）AQ不變，AQ=AC=2．
連接AC，∵∠ACD=∠P
又∵CQ平分∠OCP
∴∠PCQ=∠OCQ
∴∠ACD+∠OCQ=∠PCQ+∠P
即：∠ACQ=∠AQC
∴AQ=AC=2．

（3）OK不變，OK=

3

．
連接PD、QD、KD，
∵AC=

( 3 )2+12

=2
∴⊙A的半徑為2
∵⊙A的半徑為2，⊙M的半徑為2
∴⊙A、⊙M為等圓
∴

DAC

=

DMC

∴∠DPQ=∠DQP
∴DQ=DP
∵K為PQ的中點
∴DK⊥PQ
∵OC=OD
∴OK=

1

2

CD=OC=

3

．