【題目】如圖,四邊形中,,平分,平分.
(1)如下圖,求證:四邊形是菱形;
(2)如下圖,點為四邊形外一點,連接、、,交于點,,求證:;
(3)如下圖,在(2)的條件下,,點為上一點,連接,點為延長線上一點,,連接,為上一點,連接,若,求的值.
【答案】(1)見詳解;(2)見詳解;(3)6.
【解析】
(1)首先證明AB=BC,AB=AD,推出AD=BC,可證四邊形ABCD是平行四邊形即可解決問題.
(2)欲證明AE=AC,只要證明∠ACE=∠AEC即可.
(3)如圖3中,作KJ⊥BA交BA的延長線于J,CI⊥AB于I,設(shè)BD交AC于O.首先證明△ABC是等邊三角形,易知BO⊥AC,CJ⊥AB,推出BO=CJ,因為S△BCG=BGCI,S△ABK=AKBO,由BG=AK,CI=BO,推出S△BCG=S△ABK,推出S△BCG-S△AKH=S△ABK-S△AKH=S△BHK=BHKJ,再證明JK=AK=BG即可解決問題.
(1)證明:如圖1中,
∵AC平分∠BAD,
∴∠CAB=∠CAD,
∵AD∥BC,
∴∠CAD=∠ACB,∠ADB=∠DBC,
∴∠CAB=∠ACB,
∴AB=CB,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC,
∴∠ABD=∠ADB,
∴AB=AD,
∴AD=BC,
∵AD∥BC,
∴四邊形ABCD是平行四邊形,
∵AD=AB,
∴四邊形ABCD是菱形.
(2)證明:如圖2中,
∵BA=BC,
∴∠BAC=∠BCA,
∵∠AFC=2∠AEC-∠BAC,
∴∠AFC+∠ACB=2∠AEC,
∵∠CAF+∠AFC+∠ACB=180°,∠CAE+∠AEC+∠ACE=180°,
∴∠AFC+∠ACB=∠AEC+∠ACE=2∠AEC,
∴∠ACE=∠AEC,
∴AE=AC.
(3)解:如圖3中,作KJ⊥BA交BA水電延長線于J,CI⊥AB于I,設(shè)BD交AC于O.
∵AB=AE=AC,
∴△BCE的外接圓的圓心為A,
∵∠BEC=150°,
∴∠EBC+∠BCE=30°,
∵∠EAC=2∠EBC,∠EAB=2∠BCE,
∴∠BAC=2(∠EBC+∠BCE)=60°,
∵BA=BC,
∴△ABC是等邊三角形,BO⊥AC,CJ⊥AB,
∴BO=CJ,
∵S△BCG=BGCI,S△ABK=AKBO,
∵BG=AK,CI=BO,
∴S△BCG=S△ABK,
∴S△BCG-S△AKH=S△ABK-S△AKH=S△BHK=BHKJ,
在Rt△AKJ中,∵∠KAJ=∠BAC=60°,
∴KJ=AKsin60°=AK=BG,
∴S△BCG-S△AKH=BHKJ=BHBG=BHBG=×24=6.
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【題目】如圖,在平行四邊形中,的平分線交于點E,交的延長線于F,以為鄰邊作平行四邊形。
(1)證明平行四邊形是菱形;
(2)若,連結(jié),①求證:;②求的度數(shù);
(3)若,,,M是的中點,求的長。
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【題目】如圖,∠D=∠C=90°,E是DC的中點,AE平分∠DAB,∠DEA=28°,則∠ABE的度數(shù)是__________.
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【題目】如圖,P為平行四邊形ABCD邊AD上一點,E,F(xiàn)分別為PB,PC的中點,△PEF,△PDC,△PAB的面積分別為S、S1、S2 , 若S=2,則S1+S2=( )
A.4
B.6
C.8
D.不能確定
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,一動點從原點O出發(fā),按向上、向右、向下、向右的方向依次不斷地移動,每次移動一個單位,得到點A1(0,1),A2(1,1),A3(1,0),A4(2,0),……,那么點A2019的坐標為( )
A.(1008,1)B.(1009,1)C.(1009,0)D.(1010,0)
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知點、、的坐標分別為,,.若點從點出發(fā),沿軸正方向以每秒1個單位長度的速度向點移動,連接并延長到點,使,將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段,連接.若點在移動的過程中,使成為直角三角形,則點的坐標是__________.
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【題目】我市經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)某智能手機有限公司接到生產(chǎn)300萬部智能手機的訂單,為了盡快交貨,增開了一條生產(chǎn)線,實際每月生產(chǎn)能力比原計劃提高了50%,結(jié)果比原計劃提前5個月完成交貨,求每月實際生產(chǎn)智能手機多少萬部.
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【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,∠B=55°,點D是斜邊AB的中點,那么∠ACD的度數(shù)為( )
A.15°
B.25°
C.35°
D.45°
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【題目】如圖,已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過A(﹣2,﹣1),B(1,3)兩點,并且交x軸于點C,交y軸于點D.
(1)求該一次函數(shù)的解析式;
(2)求△AOB的面積.
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