【題目】ABC中,CACB,∠ACBαα180°).點P是平面內(nèi)不與A,C重合的任意一點,連接AP,將線段AP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段DP,連接AD,CP.點MAB的中點,點NAD的中點.

1)問題發(fā)現(xiàn):如圖1,當(dāng)α60°時,的值是   ,直線MN與直線PC相交所成的較小角的度數(shù)是   

2)類比探究:如圖2,當(dāng)α120°時,請寫出的值及直線MN與直線PC相交所成的較小角的度數(shù),并就圖2的情形說明理由.

3)解決問題:如圖3,當(dāng)α90°時,若點ECB的中點,點P在直線ME上,請直接寫出點BP,D在同一條直線上時的值.

【答案】160°;(2,30°,見解析;(3)當(dāng)點P在線段BD上時, ,當(dāng)點PDB延長線上時,2+

【解析】

1)如圖1中,連接PCBD,延長BDPCK,交ACG.證明△PAC≌△DABSAS),利用全等三角形的性質(zhì)以及三角形的中位線定理即可解決問題.

2)如圖設(shè)MNACF,延長MNPCE.證明△ACP∽△AMN,推出∠ACP∠AMN,可得結(jié)論.

3)分兩種情形分別畫出圖形,利用三角形中位線定理即可解決問題.

解:(1)如圖1中,連接PC,BD,延長BDPCK,交ACG

∵CACB,∠ACB60°,

∴△ABC是等邊三角形,

∴∠CAB∠PAD60°,ACAB,

∴∠PAC∠DAB,

∵APAD,

∴△PAC≌△DABSAS),

∴PCBD∠ACP∠ABD,

∵ANND,AMBM

∴BD2MN,

∵∠CGK∠BGA,∠GCK∠GBA

∴∠CKG∠BAG60°,

∴BKPC的較小的夾角為60°,

∵MN∥BK,

∴MNPC較小的夾角為60°

故答案為60°

2)如圖設(shè)MNACF,延長MNPCE

∵CACB,PAPD∠APD∠ACB120°,

∴△PAD∽△CAB,

∵AMMB,ANND,

,

∴△ACP∽△AMN,

∴∠ACP∠AMN, ,

∵∠CFE∠AFM,

∴∠FEC∠FAM30°

3)設(shè)MNa,由(2)得,

∵∠ACB90°,△ABC為等腰直角三角形,

∴AC=AM

,

∴PCa,

∵ME△ABC的中位線,∠ACB90°

∴ME是線段BC的中垂線,

∴PBPCa,

∵MN△ADB的中位線,

∴DB2MN2a

如圖31中,當(dāng)點P在線段BD上時,PDDBPB=(2a,

如圖32中,當(dāng)點PDB延長線上時,PDDB+PB=(2+a,

2+

練習(xí)冊系列答案
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【題目】綜合與探究

如圖,拋物線軸交于兩點,與軸交于點.點是射線上一點,過點作直線,與軸右側(cè)的拋物線交于點.點從點出發(fā),沿射線以每秒1個單位長度的速度向右運動,設(shè)點運動的時間為t秒.請解答下列問題:

(1)求直線AC的表達式與點的坐標(biāo);

(2)在點運動的過程中,若以點,,為頂點的四邊形是平行四邊形,求運動的時間;

(3)設(shè)點與點關(guān)于直線對稱,

①點的坐標(biāo)為 (用含的代數(shù)式表示,結(jié)果需化簡);

②當(dāng)點落在拋物線的對稱軸上且點在線段上時,在平面內(nèi)是否存在點F,使得以點,,F為頂點的四邊形為菱形?若存在,請求出此時點F的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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1)求本次共調(diào)查了多少學(xué)生?

2)補全條形統(tǒng)計圖;

3)該校九年級共有600名學(xué)生,請你估計了解的學(xué)生約有多少名?

4)在非常了解3人中,有2名女生,1名男生,老師想從這3人中任選兩人做宣傳員,請用列表或畫樹狀圖法求出被選中的兩人恰好是一男生一女生的概率.

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收集數(shù)據(jù):從三個年級中隨機抽取了20個班級,學(xué)校對各班的評分如下:

92 71 89 82 69 82 96 83 77 83

80 82 66 73 82 78 92 70 74 59

整理、描述數(shù)據(jù):按如下分?jǐn)?shù)段整理、描述這兩組樣本數(shù)據(jù):

分?jǐn)?shù)段

班級數(shù)

1

2

a

8

b

說明:成績90分及以上為優(yōu)秀,分為良好,分為合格,60分以下為不合格

分析數(shù)據(jù):樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差如下表,繪制扇形統(tǒng)計圖:

平均數(shù)

中位數(shù)

眾數(shù)

極差

79

c

82

d

請根據(jù)以上信息解答下列問題:

填空:______,______,______,______

若我校共120個班級,估計得分為優(yōu)秀的班級有多少個?

為調(diào)動班級積極性,決定制定一個獎勵標(biāo)準(zhǔn)分,凡到達或超過這個標(biāo)準(zhǔn)分的班級都將受到獎勵如果要使得半數(shù)左右的班級都能獲獎,獎勵標(biāo)準(zhǔn)分應(yīng)定為多少分?并簡述其理由

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