Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線過，，三點，點的坐標是，點的坐標是，動點在拋物線上．

________，________，點的坐標為________；（直接填寫結果）

是否存在點，使得是以為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，說明理由；

過動點作垂直軸于點，交直線于點，過點作軸的垂線．垂足為，連接，當線段的長度最短時，求出點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）-2，-3，（-1，0）（2）存在的坐標是或（3）或

【解析】

（1）將點A和點C的坐標代入拋物線的解析式可求得b、c的值，然后令y=0可求得點B的坐標；

（2）分別過點C和點A作AC的垂線，將拋物線與P1，P2兩點先求得AC的解析式，然后可求得P1C和P2A的解析式，最后再求得P1C和P2A與拋物線的交點坐標即可；

（3）連接OD．先證明四邊形OEDF為矩形，從而得到OD=EF，然后根據垂線段最短可求得點D的縱坐標，從而得到點P的縱坐標，然后由拋物線的解析式可求得點P的坐標．

（1）∵將點A和點C的坐標代入拋物線的解析式得：，解得：b=﹣2，c=﹣3，∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3．

∵令x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴點B的坐標為（﹣1，0）．

故答案為：﹣2；﹣3；（﹣1，0）．

（2）存在．理由如下：

如圖所示：

①當∠ACP1=90°．

由（1）可知點A的坐標為（3，0）．

設AC的解析式為y=kx﹣3．

∵將點A的坐標代入得：3k﹣3=0，解得：k=1，∴直線AC的解析式為y=x﹣3，∴直線CP1的解析式為y=﹣x﹣3．

∵將y=﹣x﹣3與y=x2﹣2x﹣3聯(lián)立解得：，（舍去），∴點P1的坐標為（1，﹣4）．

②當∠P2AC=90°時．

設AP2的解析式為y=﹣x+b．

∵將x=3，y=0代入得：﹣3+b=0，解得：b=3，∴直線AP2的解析式為y=﹣x+3．

∵將y=﹣x+3與y=x2﹣2x﹣3聯(lián)立解得：，（舍去），∴點P2的坐標為（﹣2，5）．2

綜上所述：P的坐標是（1，﹣4）或（﹣2，5）．

（3）如圖2所示：連接OD．

由題意可知，四邊形OFDE是矩形，則OD=EF．

根據垂線段最短，可得當OD⊥AC時，OD最短，即EF最短．

由（1）可知．在Rt△AOC中，∵OC=OA=3，OD⊥AC，∴D是AC的中點．

又∵DF∥OC，∴，∴點P的縱坐標是，解得：，∴當EF最短時，點P的坐標是：（）或（）．