Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣3a（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，2），連接BC．

（1）求該拋物線的解析式和對(duì)稱軸，并寫出線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）將線段BC先向左平移2個(gè)單位長度，再向下平移m個(gè)單位長度，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C1恰好落在該拋物線上，求此時(shí)點(diǎn)C1的坐標(biāo)和m的值；
（3）若點(diǎn)P是該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是該拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以P，Q，B，C四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx﹣3a（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，2），

∴ ，

解得 ．

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+2=﹣ （x﹣1）2+2 ，

∴對(duì)稱軸是x=1，

∵1+（1+1）=3，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），

∴BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1.5，1）

（2）

解：∵線段BC先向左平移2個(gè)單位長度，再向下平移m個(gè)單位長度，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C1恰好落在該拋物線上，

∴點(diǎn)C1的橫坐標(biāo)為﹣2，

當(dāng)x=﹣2時(shí)，y=﹣ ×（﹣2）2+ ×（﹣2）+2=﹣ ，

∴點(diǎn)C1的坐標(biāo)為（﹣2，﹣ ），

m=2﹣（﹣ ）=5

（3）

解：①若BC為平行四邊形的一邊，

∵BC的橫坐標(biāo)的差為3，

∵點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為1，

∴P的橫坐標(biāo)為4或﹣2，

∵P在拋物線上，

∴P的縱坐標(biāo)為﹣3 ，

∴P1（4，﹣3 ），P2（﹣2，﹣3 ）；

②若BC為平行四邊形的對(duì)角線，

則BC與PQ互相平分，

∵點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為1，BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1.5，1），

∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.5+（1.5﹣1）=2，

∴P的縱坐標(biāo)為﹣ ×22+ ×2+2=2，

∴P3（2，2）．

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P1（4，﹣3 ），P2（﹣2，﹣3 ），P3（2，2）

【解析】（1）把點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)C（0，2）的坐標(biāo)代入所給拋物線可得a、b的值，進(jìn)而得到該拋物線的解析式和對(duì)稱軸，再求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)可知，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C1的橫坐標(biāo)為﹣2，再代入拋物線可求點(diǎn)C1的坐標(biāo)，進(jìn)一步得到m的值；（3）B、C為定點(diǎn)，可分BC為平行四邊形的一邊及對(duì)角線兩種情況探討得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小．