【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,AB4,點(diǎn)CAB延長線上一點(diǎn),且BC2,點(diǎn)D是半圓的中點(diǎn),點(diǎn)P是⊙O上任意一點(diǎn).

1)當(dāng)PDAB交于點(diǎn)EPCCE時(shí),求證:PC與⊙O相切;

2)在(1)的條件下,求PC的長;

3)點(diǎn)P是⊙O上動(dòng)點(diǎn),當(dāng)PD+PC的值最小時(shí),求PC的長.

【答案】(1)詳見解析;(2)2;(3)

【解析】

1)根據(jù)點(diǎn)D是半圓的中點(diǎn)可得,∠APD45°,根據(jù)圓的半徑相等和三角形的外角性質(zhì)可推出∠PEC90°﹣∠OPE,根據(jù)PCCE即可證得;

2)在△OPC中,由勾股定理即可求出PC的長;

3)根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知,當(dāng)點(diǎn)C、P、D三點(diǎn)共線時(shí),PD+PC最小,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和已知條件可證得△CBP'∽△CDA,利用對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出答案.

1)證明:如圖1,

∵點(diǎn)D是半圓的中點(diǎn),

∴∠APD45°,

連接OP

OAOP,

∴∠OAP=∠OPA,

∴∠PEC=∠OAP+APE=∠OPA+APE=∠APE﹣∠OPE+APE2APE﹣∠OPE90°﹣∠OPE,

PCEC

∴∠CPE=∠PEC90°﹣∠APE,

∴∠OPC=∠OPE+CPE=∠OPE+90°﹣∠OPE90°

∵點(diǎn)P在⊙O上,

PC是⊙O的切線;

2)解:由(1)知,∠OPC90°

AB4,

OPOBAB2

BC2,

OCOB+BC4

根據(jù)勾股定理得,;

3)解:連接OD,如圖2,

D是半圓O的中點(diǎn),

∴∠BOD90°,要使PD+PC的值最小,則連接CD交⊙OP',

即點(diǎn)PP'的位置時(shí),PD+PC最小,

由(2)知,OC4,

RtCOD中,ODOB2,

根據(jù)勾股定理得,,

連接BP,AD,則四邊形ADP'B是⊙O的內(nèi)接四邊形,

∴∠CBP'=∠CDA,

∵∠BCP=∠DCA,

∴△CBP'∽△CDA,

,

CP',

∴當(dāng)PD+PC的值最小時(shí),PC=

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1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E,F分別在線段BC,CD上時(shí),△CEF的周長是   ;

2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E,F分別在CB,DC的延長線上,CF2時(shí),求△CEF的周長;

拓展提升:

如圖3,在RtABC中,∠ACB90°,CACB,過點(diǎn)BBDBC,連接AD,在BC的延長線上取一點(diǎn)E,使∠EDA30°,連接AE,當(dāng)BD2,∠EAD45°時(shí),請(qǐng)直接寫出線段CE的長度.

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【題目】滴滴快車是一種便捷的出行工具,某地的計(jì)價(jià)規(guī)則如下表:

計(jì)費(fèi)項(xiàng)目

里程費(fèi)

時(shí)長費(fèi)

遠(yuǎn)途費(fèi)

單價(jià)

2/公里

/分鐘

1/公里

注:車費(fèi)由里程費(fèi)、時(shí)長費(fèi)、遠(yuǎn)途費(fèi)三部分構(gòu)成,其中里程費(fèi)按行車的實(shí)際里程計(jì)算;時(shí)長費(fèi)按行車的實(shí)際時(shí)間計(jì)算;遠(yuǎn)途費(fèi)的收取方式為:行車?yán)锍?/span>7公里以內(nèi)(含7公里)不收遠(yuǎn)途費(fèi),超過7公里的,超出部分每公里收1元.

小李與小張分別從不同地點(diǎn),各自同時(shí)乘坐滴滴快車,到同一地點(diǎn)相見,已知到達(dá)約定地點(diǎn)時(shí)他們的實(shí)際行車?yán)锍谭謩e為7公里與9公里,兩人付給滴滴快車的乘車費(fèi)相同.其中一人先到達(dá)約定地點(diǎn),他等候另一人的時(shí)間等于他自己實(shí)際乘車時(shí)間,且恰好是另一人實(shí)際乘車時(shí)間的一半,則小李的乘車費(fèi)為______元.

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1)求證:AE=NE+ME

2)如圖2,延長EM至點(diǎn)F,使EF=EA,連接AF,過點(diǎn)FFHDC,垂足為H.猜想CHFH存在的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;

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問題 一般地,已知平面上兩點(diǎn)P1(x1,y1)P2(x2,y2),如何求點(diǎn)P1P2的距離?

: 當(dāng)x1≠x2,y1y2時(shí),|P1P2||x2x1|;

當(dāng)x1x2y1≠y2時(shí),|P1P2||y2y1|

當(dāng)x1≠x2,y1≠y2時(shí),如圖,

RtP1QP2中,由勾股定理知,

|P1P2|2|P1Q|2|QP2|2,所以d(P1,P2)|P1P2|.

歸納:兩點(diǎn)P1(x1y1),P2(x2,y2)間的距離公式d(P1,P2)|P1P2|.

解決問題:

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2)已知點(diǎn)A(1,2)B(3,4),C(5,0),求證:△ABC是等腰三角形.

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