Question

14．如圖，點O在菱形ABCD的對角線AC上，以O(shè)C為半徑的⊙O與邊AD相切于點E．
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）若菱形ABCD的邊長為6，∠B=60°，求⊙O的半徑的長．
（3）若∠BCD=108°，邊AB與⊙O的公共點為F，BC與⊙O交于點G，CD與⊙O交于點H．求證：多邊形EFGCH為正五邊形．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接OE，作OF⊥AB于F．只要證明OE=OF即可．
（2）如圖1中，設(shè)⊙的半徑為r，由∠B=60°，BC∥AD，推出∠B+∠BAD=180°，推出∠BAD=120°，推出∠OAE=∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BAD=60°，推出△ABC是等邊三角形，推出AB=AB=6，在Rt△AOE中，sin60°=$\frac{OE}{OA}$，推出OA=$\frac{r}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$r，可得$\frac{2\sqrt{3}}{3}$r+r=6，解方程即可．
（3）如圖2中，連接EF、FG、EH、OE、OF、OG、OH．通過計算只要證明∠EOF=∠FOG=∠GOC=∠COH=∠HOE=72°即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，連接OE，作OF⊥AB于F．

∵四邊形ABCD是菱形，
∴CA平分∠BAD，
∵⊙O與AD相切于點E，
∴OE⊥AD，∵OF⊥AB，
∴OE=OF，
∴直線AB與⊙O相切．

（2）解：如圖1中，設(shè)⊙的半徑為r，
∵∠B=60°，BC∥AD，
∴∠B+∠BAD=180°，
∴∠BAD=120°，
∴∠OAE=∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BAD=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=AB=6，
在Rt△AOE中，sin60°=$\frac{OE}{OA}$，
∴OA=$\frac{r}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$r，
∴$\frac{2\sqrt{3}}{3}$r+r=6，
∴r=12$\sqrt{3}$-18．

（3）證明：如圖2中，連接EF、FG、EH、OE、OF、OG、OH．

∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠BAD=∠BCD=108°，
∴∠ACB=∠ACD=∠CAF=∠CAD=54°，
∵OG=OC=OH，
∴∠OGC=∠OCG=∠OCH=∠OHC=54°，
∴∠GOC=∠OCH=72°，
在四邊形AFOE中，∠EOF=360°-∠AEO-∠AFO-∠EAF=72°，
∴∠AOF=∠AOE=36°，
∴∠FOG=∠EOH=180°-36°-72°=72°，
∴∠EOF=∠FOG=∠GOC=∠COH=∠HOE=72°，
∴四邊形EFGCH是正五邊形．

點評 本題考查圓綜合題．角平分線的性質(zhì)定理、切線的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、正五邊形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識，學(xué)會添加常用輔助線，掌握正五邊形的證明方法，屬于中考壓軸題．