【題目】如圖,BD為△ABC外接圓⊙O的直徑,且∠BAE=∠C.
(1)求證:AE與⊙O相切于點A;
(2)若AE∥BC,BC=2,AC=2,求AD的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】
(1)根據(jù)題目中已出現(xiàn)切點可確定用“連半徑,證垂直”的方法證明切線,連接AO并延長交⊙O于點F,連接BF,則AF為直徑,∠ABF=90°,根據(jù)同弧所對的圓周角相等,則可得到∠BAE=∠F,既而得到AE與⊙O相切于點A.
(2))連接OC,先由平行和已知可得∠ACB=∠ABC,所以AC=AB,則∠AOC=∠AOB,從而利用垂徑定理可得AH=1,在Rt△OBH中,設(shè)OB=r,利用勾股定理解得r=2,在Rt△ABD中,即可求得AD的長為2.
解:(1)連接AO并延長交⊙O于點F,連接BF,
則AF為直徑,∠ABF=90°,
∵,
∴∠ACB=∠F,
∵∠BAE=∠ACB,
∴∠BAE=∠F,
∵∠FAB+∠F=90°,
∴∠FAB+∠BAE=90°,
∴OA⊥AE,
∴AE與⊙O相切于點A.
(2)連接OC,
∵AE∥BC,
∴∠BAE=∠ABC,
∵∠BAE=∠ACB,
∴∠ACB=∠ABC,
∴AC=AB=2,
∴∠AOC=∠AOB,
∵OC=OB,
∴OA⊥BC,
∴CH=BH=BC=,
在Rt△ABH中,
AH==1,
在Rt△OBH中,設(shè)OB=r,
∵OH2+BH2=OB2,
∴(r﹣1)2+()2=r2,
解得:r=2,
∴DB=2r=4,
在Rt△ABD中,AD===2,
∴AD的長為2.
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【題目】如圖,已知在△ABC中,點D為BC邊上一點(不與點B,點C重合),連結(jié)AD,點E、點F分別為AB、AC上的點,且EF∥BC,交AD于點G,連結(jié)BG,并延長BG交AC于點H.已知=2,①若AD為BC邊上的中線,的值為;②若BH⊥AC,當BC>2CD時,<2sin∠DAC.則( )
A. ①正確;②不正確B. ①正確;②正確
C. ①不正確;②正確D. ①不正確;②正確
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【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖所示,圖象過點(-1,0),對稱軸為直線 x=2,系列結(jié)論:(1)4a+b=0;(2)4a+c>2b;(3)5a+3c>0;(4)方程a(x﹣1)2 + b(x﹣1)+c=0的兩根是x1= 0,x2= 6.其中正確的結(jié)論有( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】如圖,已知反比例函數(shù)y=的圖象與正比例函數(shù)y=kx的圖象交于點A(m,﹣2).
(1)求正比例函數(shù)的解析式及兩函數(shù)圖象另一個交點B的坐標;
(2)試根據(jù)圖象寫出不等式≥kx的解集;
(3)在反比例函數(shù)圖象上是否存在點C,使△OAC為等邊三角形?若存在,求出點C的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】平面直角坐標系中,直線,點,點,動點在直線上,動點、在軸正半軸上,連接、、.
(1)若點,求直線的解析式;
(2)如圖,當周長最小時,連接,求的最小值,并求出此時點的坐標;
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【題目】如圖,點P是ABCD對角線AC上的一點,連接DP并延長DP交邊AB于點E,連接BP并延長BP交AD于點F,交CD的延長線于點G,已知.
(1)求的值.
(2)若四邊形ABCD是菱形.
①求證:△APB≌△APD;
②若DP的長為6,求GF的長.
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【題目】如圖,在中,,,D是線段AC延長線上一點,連接BD,過點A作于E.
求證:.
將射線AE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)后,所得的射線與線段BD的延長線交于點F,連接CE.
依題意補全圖形;
用等式表示線段EF,CE,BE之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.
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【題目】圖1所示的是某超市入口的雙翼閘門,如圖2,當它的雙翼展開時,雙翼邊緣的端點A與B 之間的距離為10cm,雙翼的邊緣AC=BD=54cm,且與閘機側(cè)立面夾角∠PCA=∠BDQ=30°,求當雙翼收起時,可以通過閘機的物體的最大寬度。
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