【題目】如圖,在正方形ABCD中,E是CD邊上一動點,DF⊥BE交BE的延長線于F.
(1)如圖(1),若BE平分∠DBC時,
①直接寫出∠FDC的度數(shù);
②延長DF交BC的延長線于點H,補全圖形,探究BE與DF的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)如圖(2),過點C作CG⊥BE于點G,猜想線段BF,CG,DF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想.
【答案】(1)①22.5°;②BE=2DF,(2)BF=2CG+DF
【解析】
(1)①根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠DBC=45°,根據(jù)角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計算,得到答案;
②根據(jù)題意補全圖形,證明△BFD≌△BFH,得到DF=FH=DH,證明△BCE≌△DCH,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論;
(2)在BF上取點H,使FH=DF,連接DH、FC,證明△BDH∽△CDF,得到,∠DBH=∠DCF,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)計算即可.
解:(1)①∵四邊形ABCD為正方形,
∴∠DBC=45°,
∵BE平分∠DBC,
∴∠DBE=∠CBE=22.5°,
∵∠F=∠C=90°,∠DEF=∠BEC,
∴∠FDC=∠CBE=22.5°;
②補全圖形如圖(1)所示,
BE=2DF,
理由如下:在△BFD和△BFH中,
,
∴△BFD≌△BFH(ASA)
∴DF=FH=DH,
在△BCE和△DCH中,
,
∴△BCE≌△DCH(ASA)
∴BE=DH=2DF;
(2)BF=2CG+DF
理由如下:在BF上取點H,使FH=DF,連接DH、FC,
∵FD=FH,∠DFH=90°,
∴∠FHD=∠FDH=45°,DH=DF,
∵∠BDC=45°,
∴∠BDC=∠HDF,
∴∠BDH=∠CDF,
∵,∠BDH=∠CDF,
∴△BDH∽△CDF,
∴,∠DBH=∠DCF,
∵∠GBC=90°﹣∠BCG=∠GCH,
∴∠GCF=∠DBC=45°,
∴FC=CG,
∴BH=2CG,
∴BF=BH+HF=2CG+DF.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,將△ABC繞點C按照順時針方向旋轉(zhuǎn)m度后得到△DEC,點D剛好落在AB邊上.
(1)求m的值;
(2)若F是DE的中點,判斷四邊形ACFD的形狀,并說明理由.
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【題目】“知識改變命運,科技繁榮祖國”.我市中小學(xué)每年都要舉辦一屆科技運動會.下圖為我市某校2009年參加科技運動會航模比賽(包括空模、海模、車模、建模四個類別)的參賽人數(shù)統(tǒng)計圖:
(1)該校參加車模、建模比賽的人數(shù)分別是 人和 人;
(2)該校參加航模比賽的總?cè)藬?shù)是 人,空模所在扇形的圓心角的度數(shù)是 °,并把條形統(tǒng)計圖補充完整;(溫馨提示:作圖時別忘了用0.5毫米及以上的黑色簽字筆涂黑)
(3)從全市中小學(xué)參加航模比賽選手中隨機抽取80人,其中有32人獲獎.今年我市中小學(xué)參加航模比賽人數(shù)共有2485人,請你估算今年參加航模比賽的獲獎人數(shù)約是多少人?
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【題目】已知,如圖:在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,四邊形OABC是矩形,點A、C的坐標(biāo)分別為A(10,0)、C(0,4),點D是OA的中點,點P在BC邊上運動,當(dāng)△ODP是腰長為5的等腰三角形時,點P的坐標(biāo)為_____.
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【題目】一座橋如圖,橋下水面寬度AB是20米,高CD是4米.要使高為3米的船通過,則其寬度須不超過多少米.
(1)如圖1,若把橋看做是拋物線的一部分,建立如圖坐標(biāo)系.
①求拋物線的解析式;
②要使高為3米的船通過,則其寬度須不超過多少米?
(2)如圖2,若把橋看做是圓的一部分.
①求圓的半徑;
②要使高為3米的船通過,則其寬度須不超過多少米?
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【題目】知識是用來為人類服務(wù)的,我們應(yīng)該把它們用于有意義的方面.下面就兩個情景請你作出評判.
情景一:從教室到圖書館,總有少數(shù)同學(xué)不走人行道而橫穿草坪,這是為什么呢?試用所學(xué)數(shù)學(xué)知識來說明這個問題.
情景二:A、B是河流l兩旁的兩個村莊,現(xiàn)要在河邊修一個抽水站向兩村供水,問抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短?請在圖中表示出抽水站點P的位置,并說明你的理由:
你贊同以上哪種做法?你認(rèn)為應(yīng)用數(shù)學(xué)知識為人類服務(wù)時應(yīng)注意什么?
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【題目】某區(qū)環(huán)保部門為了提高宣傳垃圾分類的實效,抽樣調(diào)查了部分居民小區(qū)一段時間內(nèi)生活垃圾的分類情況,進行整理后,繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖:
根據(jù)統(tǒng)計圖解答下列問題:
(1)求抽樣調(diào)查的生活垃圾的總噸數(shù);
(2)求扇形統(tǒng)計圖中,“D”部分所對應(yīng)的圓心角的度數(shù),并將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)調(diào)查發(fā)現(xiàn),在可回收物中廢紙垃圾約占,每回收 1 噸廢紙可再造 0.85 噸的再生紙,假設(shè)該城市每月生產(chǎn)的生活垃圾為10000 噸,且全部分類處理,那么每月回收的廢紙可制成再生紙多少噸?
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【題目】某工廠為了擴大生產(chǎn),決定購買6臺機器用于生產(chǎn)零件,現(xiàn)有甲、乙兩種機器可供選擇,其中甲型機器每日生產(chǎn)零件106個,乙型機器每日生產(chǎn)零件60個,經(jīng)調(diào)查,購買3臺甲型機器和2臺乙機器共需31萬元,購買一臺甲型機器比購買一臺乙型機器多2萬元.
(1)求甲、乙兩種機器每臺各多少萬元?
(2)如果工廠購買機器的預(yù)算資金不超過34萬元,那么該工廠有幾種購買方案?
(3)在(2)的條件下,如果該工廠購進的6臺機器的日產(chǎn)量能力不能低于380個,那么為了節(jié)約資金,應(yīng)選擇那種方案?
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【題目】如圖所示,在Rt△ABC中,AB的垂直平分線交BC于點E.若BE=2,∠B=22.5°.求∠AEC的度數(shù)及AE,AC的長.
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