Question

2．如圖，數(shù)軸上線段AB=2，CD=4，點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是-10，點C在數(shù)軸上表示的數(shù)是16，若線段AB以6個單位/秒的速度向右勻速運動，同時線段CD以2個單位/秒的速度向左勻速運動．
（1）問運動多少秒時BC=8？
（2）當運動到BC=8時，點B在數(shù)軸上表示的數(shù)是4或16
（3）當3≤t＜$\frac{13}{4}$，B點運動到線段CD上時，P是線段AB上一點，是否存在關系式BD-AP=3PC？若存在，求線段PC的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設運動t秒時，BC=8（單位長度），然后分點B在點C的左邊和右邊兩種情況，根據(jù)題意列出方程求解即可；
（2）由（1）中求出的運動時間即可求出點B在數(shù)軸上表示的數(shù)；
（3）隨著點B的運動，分別討論當點B和點C重合、點C在點A和B之間及點A與點C重合時的情況．

解答 解：（1）設運動t秒時，BC=8單位長度，
①當點B在點C的左邊時，
由題意得：6t+8+2t=24
解得：t=2（秒）；
②當點B在點C的右邊時，
由題意得：6t-8+2t=24
解得：t=4（秒）．

（2）當運動2秒時，點B在數(shù)軸上表示的數(shù)是4；
當運動4秒時，點B在數(shù)軸上表示的數(shù)是16；
故答案為：4或16；

（3）當t=3時，點B和點C重合，點P在線段AB上，0＜PC≤2，且BD=CD=4，AP+3PC=AB+2PC=2+2PC，
當PC=1時，BD=AP+3PC，即BD-AP=3PC；
當3≤t＜$\frac{13}{4}$時，點C在點A和點B之間，0＜PC＜2，
①點P在線段AC上時，BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AC+2PC=AB-BC+2PC=2-BC+2PC，
當PC=1時，有BD=AP+3PC，即BD-AP=3PC；
點P在線段BC上時，BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AC+4PC=AB-BC+4PC=2-BC+4PC，
當PC=$\frac{1}{2}$時，有BD=AP+3PC，即BD-AP=3PC；
3°當t=$\frac{13}{4}$時，點A與點C重合，0＜PC≤2，BD=CD-AB=2，AP+3PC=4PC，
當PC=$\frac{1}{2}$時，有BD=AP+3PC，即BD-AP=3PC；
此時，PC=1或$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查兩點間的距離，并綜合了數(shù)軸、一元一次方程和線段長短的比較，難度較大，注意對第三問進行分情況討論，不要漏解．