【題目】如圖,已知拋物線與x軸交于點和點,與軸交于點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點為第二象限拋物線上一動點,連接,求面積的最大值,并求此時點的坐標.
(3)在拋物線上是否存在點使得為等腰三角形?若存在,請求出一共有幾個符合條件的點(簡要說明理由)并寫出其中一個點的坐標;若不存在這樣的點,請簡要說明理由.
【答案】(1)y=-x2-2x+3;(2)點E的坐標為(-,);(3)存在.共有5個點,其中一個是(-1,4).
【解析】
(1)由拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)與x軸交于點A(1,0)和點B(-3,0),利用待定系數(shù)法,將點A與B的坐標代入拋物線的解析式即可求得a與b的值,則可得此拋物線的解析式;
(2)根據(jù)已知可求得點C的坐標,然后作輔助線:EF∥AB,設點E的坐標為(x,y),由S△BEC=S梯形OBEF+S△EFC-S△BOC即可求得關于x的二次函數(shù),配方即可求得x的值,代入解析式,求得y的值;
(3)分別從AP=BP與AB=BP與AB=AP去分析,可得到存在符合條件的點有5個,其中最好求的是P在頂點時的坐標,配方求解即可.
(1)將點A與B的坐標代入拋物線的解析式得: ,
解得:,
∴拋物線的解析式為:y=-x2-2x+3;
(2)∵拋物線的解析式為:y=-x2-2x+3,
∴點C的坐標為(0,3),
設點E的坐標為(x,y),過點E作EF∥AB交y軸于F,
∴EF=-x,OB=3,OC=3,OF=-x2-2x+3,CF=3-(-x2-2x+3)=x2+2x,
∴S△BEC=S梯形OBEF+S△EFC-S△BOC
=(EF+OB)OF+EFCF-OBOC
=×(-x+3)×(-x2-2x+3)+×(-x)×(x2+2x)-×3×3
=-(x+)2+,
∴當x=-時,△BCE的面積最大,最大面積為;
∴y=-x2-2x+3=,
∴點E的坐標為(-,);
(3)存在.
如果AP=BP,則點P在AB的垂直平分線上,即是拋物線的頂點,
∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
∴此時P點的坐標為(-1,4);
如果AB=BP,則如圖①:
如果AB=AP,則如圖②:
∴存在使得△ABP為等腰三角形的P點5個;
有一點的坐標為(-1,4).
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于A(﹣2,1),B(1,n)兩點.
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)圖象寫出一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍.
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【題目】在△ABC中,D,E分別是△ABC兩邊的中點,如果弧DE(可以是劣弧、優(yōu)弧或半圓)上的所有點都在△ABC的內(nèi)部或邊上,則稱弧DE為△ABC的中內(nèi)。,圖1中弧DE是△ABC其中的某一條中內(nèi)弧.
(1)如圖2,在邊長為4的等邊△ABC中,D,E分別是AB,AC的中點.畫出△ABC的最長的中內(nèi)弧DE,并直接寫出此時弧DE的長;
(2)在平面直角坐標系中,已知點A(2,6),B(0,0),C(t,0),在△ABC中,D,E分別是AB,AC的中點.
①若t=2,求△ABC的中內(nèi)弧DE所在圓的圓心P的縱坐標的取值范圍;
②請寫出一個t的值,使得△ABC的中內(nèi)弧DE所在圓的圓心P的縱坐標可以取全體實數(shù)值.
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【題目】某水果批發(fā)商銷售每箱進價為40元的蘋果,物價部門規(guī)定每箱售價不得高于55元,市場調(diào)查發(fā)現(xiàn):若每箱以50元的價格出售,平均每天銷售80箱,價格每提高1元,平均每天少銷售2箱.
⑴.求平均每天銷售量(箱)與銷售價(元/箱)之間的函數(shù)關系式;
⑵.求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤(元)與銷售價(元/箱)之間的函數(shù)關系式;
⑶.當每箱蘋果的銷售價為多少元時,可以獲得最大利潤?最大利潤是多少?
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【題目】如圖:已知拋物線y=ax2+bx(a≠0)經(jīng)過A(3,0),B(4,4)兩點.
(1)求拋物線解析式.
(2)將直線OB向下平移m個單位后,得到的直線與拋物線只有一個公共點D,求m值及交點D的坐標.
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【題目】如圖,在ABCD中,點E在BC邊上,點F在DC的延長線上,且∠DAE=∠F.
(1) 求證:△ABE∽△ECF;
(2) 若AB=5,AD=8,BE=2,求FC的長.
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【題目】如圖,等邊三角形ABC中,AB=4cm,以C為圓心,1cm長為半徑畫⊙C,點P在⊙C上運動,連接AP,并將AP繞點A順時針旋轉60°至AP′,點D是邊AC的中點,連接DP′.在點P移動的過程中,線段DP′長度的最小值為______cm.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=α,將△ABC繞點C順時針方向旋轉到△A′B′C的位置,使AA′∥BC,設旋轉角為β,則α,β滿足關系( 。
A.α+β=90°B.α+2β=180°C.2α+β=180°D.α+β=180°
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【題目】已知k是常數(shù),拋物線y=x2+(k2+k-6)x+3k的對稱軸是y軸,并且與x軸有兩個交點.
(1)求k的值:
(2)若點P在拋物線y=x2+(k2+k-6)x+3k上,且P到y軸的距離是2,求點P的坐標.
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