Question

【題目】如圖，在矩形中，是的中點(diǎn)，將沿折疊后得到，點(diǎn)在矩形內(nèi)部，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G．

（1）猜想線段與有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；

（2）若，，求線段的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1），證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）連接GE，根據(jù)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)以及翻折的性質(zhì)可以求出BE=EF=EC，然后利用“HL”證明△GFE和△GCE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；
（2）設(shè)GC=x，表示出AG、DG，然后在Rt△ADG中，利用勾股定理列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．

（1）GF=GC．理由如下：

連接GE，

∵在矩形ABCD中，
∴∠B=∠C=90°，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴BE=EC，
∵△ABE沿AE折疊后得到△AFE，
∴BE=EF，∠AFE=∠B=∠EFG=90°，AF=AB=3，
∴EF=EC，
∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，

，
∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），
∴GF=GC；

（2）設(shè)GC=，則AG=AF+FG=，DG=，
在Rt△ADG中，，即，
解得．

∴GC的長(zhǎng)為．