Question

在△ABC中，AC=25，AB=35，tanA=，點(diǎn)D為邊AC上一點(diǎn)，且AD=5，點(diǎn)E、F分別為邊AB上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)F在點(diǎn)E的左邊），且∠EDF=∠A．設(shè)AE=x，AF=y．

（1）如圖1，當(dāng)DF⊥AB時(shí)，求AE的長(zhǎng)；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E、F在邊AB上時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；

（3）聯(lián)結(jié)CE，當(dāng)△DEC和△ADF相似時(shí)，求x的值．

 

 

Answer 1

(1) ，(2) y=6-（≤x≤35）；(3) x=25或x=5或x=.

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)DF⊥AB，∠EDF=∠A，得出∠ADE=90°，再根據(jù)AD=5，tanA=，即可求出AE；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB，交AB于G，先證出△EDF∽△EAD，得出ED2=AE•EF，再求出DG、AG，最后根據(jù)EG=x-6，DE2=42+（x-3）2得出42+（x-3）2=x•（x-y），再進(jìn)行整理即可；

（3）先證出∠AFD=∠EDC，再分兩種情況討論：①當(dāng)∠A=∠CED時(shí)，得出，，再把y=6- 代入得出5（6-）=x，再解方程即可；②當(dāng)∠A=∠DCE時(shí)，根據(jù)△ECD∽△DAF得出，，再把y=6-代入得出5（6-）=x，求出方程的解即可．

試題解析：（1）∵DF⊥AB，

∴∠AFD=90°，

∴∠A+∠ADF=90°

∵∠EDF=∠A，

∴∠EDF+∠ADF=90°，

即∠ADE=90°，

在Rt△ADE中，∠ADE=90°，AD=5，tanA=

∴DE=，

∴AE=，

（2）過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB，交AB于G，

∵∠EDF=∠ADE，∠DEF=∠AED，

∴△EDF∽△EAD，

∴，

∴ED2=AE•EF，

∴RT△AGD中，∠AGD=90°，AD=5，tanA=，

∴DG=4，AG=3，

∴EG=x-3，

∴DE2=42+（x-3）2，

∴42+（x-3）2=x•（x-y），

∴y=6-（≤x≤35）；

（3）∵∠A+∠AFD=∠EDF+∠EDC，且∠EDF=∠A，

∴∠AFD=∠EDC，

①當(dāng)∠A=∠CED時(shí)，

∵∠EDF=∠A，

又∵∠CED=∠FDE，

∴DF∥CE

∴，

∴

∵y=6-，

∴5（6-）=x，

x1=25，x2=5；

②當(dāng)∠A=∠DCE時(shí)，

∵∠EDF=∠A，

∴△ECD∽△DAF

∴，，

∵y=6-，

∴5（6-）=x，

∴x=，

∴當(dāng)△DEC和△ADF相似時(shí)，x=25或x=5或x=.

考點(diǎn)：相似形綜合題．