Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，2）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)D為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線AC上方，當(dāng)以A、C、D為頂點(diǎn)的三角形面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)及此時(shí)三角形的面積；

（3）以AB為直徑作⊙M，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)E（﹣1，﹣5），并且與⊙M相切，求該直線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+2；（2）2，D的坐標(biāo)為（﹣2，2）；（3）y=x﹣或y=﹣x﹣．

【解析】試題分析：

（1）由已知條件可設(shè)拋物線解析式為： ，再代入點(diǎn)C的坐標(biāo)（0，2）解得的值即可得到拋物線的解析式；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于H，交直線AC于點(diǎn)G，由A、C的坐標(biāo)求出直線AC的解析式，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為“m”，則可用含“m”的代數(shù)式表達(dá)出DG的長(zhǎng)，結(jié)合S△ADC=DG×OA即可用“m”的式子表達(dá)出其面積，配方即可得到當(dāng)“m”為何值時(shí)，面積最大，并得到面積的最大值；

（3）如圖3，設(shè)過(guò)點(diǎn)E的直線與⊙M相切于點(diǎn)F，與x軸交于點(diǎn)N，連接MF，則有MF⊥EN，由已知條件易得：⊙M的半徑為3，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（﹣1，0），ME=5，在Rt△MFE中可求得EF=4；再證△MEF∽△NEM，由兩三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可求得MN=，從而可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)為（ ，0）或（，0），結(jié)合點(diǎn)E的坐標(biāo)即可求得直線NE的解析式.

試題解析：

（1）拋物線與軸交于A（﹣4，0），B（2，0），

∴可設(shè)，

又∵拋物線過(guò)點(diǎn)C（0，2），

∴，解得： ，

∴拋物線的解析式為： ；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于H，交直線AC于點(diǎn)G，如圖2．

設(shè)直線AC的解析式為，由已知可得： ，

解得： ，

∴直線AC的解析式為．

設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)G的橫坐標(biāo)也為m，

∴DH=，GH=，

∴DG=DH-GH= ，

∴S△ADC=DG·OA

=

=

=，

∵點(diǎn)D在直線AC上方的拋物線上，

∴，

∴當(dāng)m=﹣2時(shí)，S△ADC取到最大值2．

此時(shí)yD=，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣2，2）；

（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)E的直線與⊙M相切于點(diǎn)F，與x軸交于點(diǎn)N，連接MF，如圖3，

則有MF⊥EN．

∵A（﹣4，0），B（2，0），

∴AB=6，MF=MB=MA=3，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（﹣1，0）．

∵E（﹣1，﹣5），

∴ME=5，∠EMN=90°．

∴在Rt△MFE中，EF=．

∵∠MEF=∠NEM，∠MFE=∠EMN=90°，

∴△MEF∽△NEM，

∴，即： ，

解得：NM=，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，0）即（ ，0）或（，0）即（，0）．

設(shè)直線EN的解析式為y=px+q．

①當(dāng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（ ，0）時(shí)，由題意可得： ，

解得： ，

∴直線EN的解析式為．

②當(dāng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，0）時(shí)，

同理可得：直線EN的解析式為： ．

綜上所述：所求直線的解析式為： 或．