Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=的圖象交于A（1，6），B（3，n）兩點(diǎn)．

（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）根據(jù)圖象寫出不等式kx+b﹣＞0的解集；

（3）若點(diǎn)M在x軸上、點(diǎn)N在y軸上，且以M、N、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）反比例函數(shù)解析為y=，一次函數(shù)解析式為y=﹣2x+8；（2）解集為1＜x＜3或x＜0；（3）以M、N、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，M（﹣2，0），N（0，﹣4）或M（4，0），N（0，8）．

【解析】試題分析：（1）由A點(diǎn)坐標(biāo)可求得m的值，可求得反比例函數(shù)解析式，則可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線AB的解析式；

（2）結(jié)合函數(shù)圖象可知不等式的解集即為一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方時(shí)對應(yīng)的x的取值范圍，結(jié)合A、B坐標(biāo)可求得答案；

（3）當(dāng)AB為平行四邊形的邊時(shí)，①當(dāng)M在x軸正半軸，N在y軸正半軸時(shí)，過A作AC∥y軸，過B作BC∥x軸，可證明△ABC≌△NMO，則可求得OM和ON，②當(dāng)M在x軸負(fù)半軸，N在y軸負(fù)半軸時(shí)，同理可求得OM和ON的長，則可求得M、N的坐標(biāo)；當(dāng)AB為對角線時(shí)，可求得M、N、A、B四點(diǎn)共線，不合題意．

試題解析：（1）反比例函數(shù)y=的圖象過A（1，6），

∴m=1×6=6，

∴反比例函數(shù)解析為y=，

把x=3代入可得n=2，

∴B（3，2），

設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，

把A、B坐標(biāo)代入可得，解得，

∴一次函數(shù)解析式為y=﹣2x+8；

（2）不等式kx+b﹣＞0可化為不等式kx+b＞，

即直線在反比例函數(shù)圖象上方時(shí)所對應(yīng)的自變量x的取值范圍，

∵A（1，6），B（3，2），

∴不等式kx+b﹣＞0的解集為1＜x＜3或x＜0；

（3）當(dāng)AB為平行四邊形的邊時(shí)，

①當(dāng)M在x軸正半軸，N在y軸正半軸時(shí)，如圖1，過A作AC∥y軸，過B作BC∥x軸，

∵A（1，6），B（3，2），

∴BC=3﹣1=2，AC=6﹣2=4，

∵M(jìn)N∥AB，且MN=AB，

∴∠ONM=∠CAB，

在△NOM和△ACB中 ,

∴△NOM≌△ACB（AAS），

∴OM=BC=2，ON=AC=4，

∴M（2，0），N（0，4）；

②當(dāng)M在x軸的負(fù)半軸、N在y軸的負(fù)半軸時(shí)，同理可求得M（﹣2，0），N（0，﹣4）；

當(dāng)AB為對角線時(shí)，設(shè)M（x，0），N（0，y），

∵A（1，6），B（3，2），

∴平行四邊形的對稱中心為（2，4），

∴x+0=4，y+0=8，解得x=4，y=8，此時(shí)M（4，0），N（0，8），

在y=﹣2x+8中，令y=0可得x=4，令x=0可得y=8，

∴A、B、M、N四點(diǎn)共線，不合題意，舍去；

綜上可知以M、N、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，M（﹣2，0），N（0，﹣4）或M（4，0），N（0，8）．